Um satélite artificial de massa m orbita a Terra em uma órbita circular de raio R e velocidade orbital v. O satélite é considerado um corpo pontual e não há propulsão ativa durante a órbita; assim, não há torque externo significativo sobre ele, e o momento angular orbital permanece constante.
O momento angular orbital do satélite é dado por
L=m v R .
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
(1) O momento angular do satélite permanece constante enquanto nenhuma força exercida sobre ele gerar torque resultante em relação ao centro da Terra.
(2) Se o satélite fosse colocado em uma órbita circular de raio maior, mantendo a velocidade orbital v, seu momento angular aumentaria.
(3) A força gravitacional não realiza torque em relação ao centro da Terra, pois está sempre direcionada para o centro.
(4) Se o satélite passasse a orbitar em uma órbita elíptica, o momento angular permaneceria constante ao longo de toda a órbita.
(5) O vetor momento angular do satélite é perpendicular ao plano orbital.
Assinale a alternativa correta:
(a) Apenas as afirmativas 1 e 3 estão corretas.
(b) Apenas as afirmativas 1, 3 e 5 estão corretas.
(c) Apenas as afirmativas 2 e 4 estão corretas.
(d) Apenas as afirmativas 1, 2, 3 e 5 estão corretas.
(e) Todas as afirmativas estão corretas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que a gente avalie as afirmativas numeradas de 1 a 5:
  • Temos um satélite de massa m em órbita circular de raio R e velocidade orbital v.
  • O momento angular orbital fornecido é
L = m v R.
As afirmativas a analisar são:
(1) O momento angular do satélite permanece constante enquanto nenhuma força exercida sobre ele gerar torque resultante em relação ao centro da Terra.
(2) Se o satélite fosse colocado em uma órbita circular de raio maior, mantendo a velocidade orbital v, seu momento angular aumentaria.
(3) A força gravitacional não realiza torque em relação ao centro da Terra, pois está sempre direcionada para o centro.
(4) Se o satélite passasse a orbitar em uma órbita elíptica, o momento angular permaneceria constante ao longo de toda a órbita.
(5) O vetor momento angular do satélite é perpendicular ao plano orbital.
Não resolvo nada neste passo, só enumerei o que o problema deu e o que ele pede.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (explicados devagarinho).
Definição vetorial do momento angular: para uma partícula com posição \vec{r} em relação a um ponto de referência (aqui o centro da Terra) e momento linear \vec{p}=m\vec{v}, o vetor momento angular é
\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}.
  • Aqui \vec{r} é o vetor posição do satélite em relação ao centro da Terra.
  • \vec{p} é o momento linear, \vec{p}=m\vec{v}.
  • O sinal \times é o produto vetorial (cross product), que dá um vetor perpendicular ao plano formado por \vec{r} e \vec{p}.
Definição de torque (momento de força): a taxa de variação do momento angular é igual ao torque resultante em relação ao mesmo ponto:
\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F},
onde \vec{F} é a força resultante aplicada à partícula. Isso é uma consequência direta da segunda lei de Newton e das propriedades do produto vetorial.
Interpretação prática: se o torque resultante \vec{\tau} em relação ao centro da Terra for nulo, então \frac{d\vec{L}}{dt}=0 e \vec{L} é constante (tanto em módulo quanto em direção).

Passo 3

Analisando a afirmativa (1).
Afirmativa (1): “O momento angular do satélite permanece constante enquanto nenhuma força exercida sobre ele gerar torque resultante em relação ao centro da Terra.”
Usando a fórmula do passo anterior:
\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{\tau}.
Se \vec{\tau}=0, então \frac{d\vec{L}}{dt}=0 e \vec{L} é constante. Essa é exatamente a declaração da afirmativa (1). Portanto, (1) é correta.
Comentário amigo: isso é direto da definição — conserve o torque zero, conserva-se o momento angular. Respira, ok.

Passo 4

Analisando a afirmativa (3) primeiro (porque ela garante argumentos para outras).
Afirmativa (3): “A força gravitacional não realiza torque em relação ao centro da Terra, pois está sempre direcionada para o centro.”
A força gravitacional sobre o satélite tem direção radial, isto é,
\vec{F}=F(r)\,\hat{r},
onde \hat{r} é o versor na direção do vetor posição \vec{r}. O torque é
\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{r}\times\big(F(r)\,\hat{r}\big).
Como \vec{r} é paralelo a \hat{r}, o produto vetorial entre vetores paralelos é zero. Logo \vec{\tau}=\vec{0}. Portanto, a força gravitacional exerce torque nulo com respeito ao centro da Terra — a justificativa da afirmativa está correta. Assim, (3) é correta.
Pequena intuição: se a força aponta exatamente para o ponto em torno do qual medimos torque, ela não “tenta girar” o corpo em torno desse ponto.

Passo 5

Com (1) e (3) entendidas, avaliamos a afirmativa (4) sobre órbita elíptica.
Afirmativa (4): “Se o satélite passasse a orbitar em uma órbita elíptica, o momento angular permaneceria constante ao longo de toda a órbita.”
Explicação: a força gravitacional entre Terra e satélite continua sendo uma força central, isto é, depende só de r e aponta radialmente para o centro. Já vimos que uma força central gera torque nulo em relação ao centro. Assim, para qualquer trajetória sob apenas a força gravitacional (incluindo órbitas elípticas do tipo Keplerianas), temos \vec{\tau}=\vec{0} e portanto
\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{0}\quad\Rightarrow\quad \vec{L}=\text{constante}
em módulo e direção. Isso significa que mesmo numa órbita elíptica, o momento angular permanece constante ao longo de toda a órbita. Portanto, (4) é correta.
Conexão útil: essa conservação é justamente a origem da Lei das Áreas de Kepler — a área varrida pelo raio vetor é proporcional a tempo porque a areal velocity é \frac{1}{2}\frac{L}{m}, constante.

Passo 6

Analisando a afirmativa (5).
Afirmativa (5): “O vetor momento angular do satélite é perpendicular ao plano orbital.”
Raciocínio: \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}. O produto vetorial de dois vetores produz um vetor perpendicular ao plano que contém esses vetores. No movimento orbital de uma partícula sob uma força central, o vetor posição \vec{r} e a velocidade \vec{v} (portanto \vec{p}=m\vec{v}) ficam sempre contidos no plano orbital. Logo \vec{L} é perpendicular a esse plano orbital. Assim, (5) é correta.
Intuição prática: imagine o plano da órbita como uma folha; o momento angular “aponta” para cima ou para baixo dessa folha (regra da mão direita).

Passo 7

Agora voltamos à afirmativa (2), que é um pouco mais direta em forma algébrica mas merece cuidado conceitual.
Afirmativa (2): “Se o satélite fosse colocado em uma órbita circular de raio maior, mantendo a velocidade orbital v, seu momento angular aumentaria.”
Matematicamente, para a situação dada (velocidade v e raio R numa órbita circular) o momento angular escalar (módulo) é dado por
L = m v R.
Se você aumenta R e mantém v fixo, então L aumenta proporcionalmente a R. Logo, na literalidade da afirmação, ela é verdadeira: aumentar o raio mantendo a mesma velocidade implica aumento de L.
Caveat físico (explicado calmamente): numa órbita circular estável em torno de uma massa M a velocidade circular depende do raio pela relação
v_{\text{circ}}=\sqrt{\frac{G M}{R}}.
Portanto, se você “coloca o satélite” numa outra órbita circular de raio maior sem mudar sua velocidade por mágica (ou seja, mantendo v fixo por meio de um impulso inicial), então a afirmação matemática é correta. Mas se a situação for “só deixá-lo livre” e esperar que se ajuste a uma órbita circular natural, não é possível manter v constante ao aumentar R — a velocidade circular exigida diminuiria. A afirmativa não contradiz a matemática de L=m v R; ela só fala de um hipotético procedimento onde v é mantido. Portanto, (2) é correta na leitura direta.

Passo 8

Resumo lógico das cinco afirmativas com justificativas curtas:
  • (1) correta: conservação de \vec{L} quando torque resultante é zero.
  • (2) correta: pela fórmula L=m v R, aumentando R com v fixo, L aumenta (observação física: velocidade circular natural muda com R, mas a afirmação trata do caso em que v é mantido).
  • (3) correta: força gravitacional é radial, logo \vec{r}\times\vec{F}=\vec{0}.
  • (4) correta: força central implica torque nulo, logo \vec{L} é conservado mesmo em órbitas elípticas.
  • (5) correta: \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p} é perpendicular ao plano que contém \vec{r} e \vec{p}, i.e., ao plano orbital.
Portanto todas as afirmativas são verdadeiras.

Resposta

(e)

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