Um satélite artificial de massa
orbita a Terra em uma órbita circular de raio
e velocidade orbital
. O satélite é considerado um corpo pontual e não há propulsão ativa durante a órbita; assim, não há torque externo significativo sobre ele, e o momento angular orbital permanece constante.
O momento angular orbital do satélite é dado por
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
(1) O momento angular do satélite permanece constante enquanto nenhuma força exercida sobre ele gerar torque resultante em relação ao centro da Terra.
(2) Se o satélite fosse colocado em uma órbita circular de raio maior, mantendo a velocidade orbital
, seu momento angular aumentaria.
(3) A força gravitacional não realiza torque em relação ao centro da Terra, pois está sempre direcionada para o centro.
(4) Se o satélite passasse a orbitar em uma órbita elíptica, o momento angular permaneceria constante ao longo de toda a órbita.
(5) O vetor momento angular do satélite é perpendicular ao plano orbital.
Assinale a alternativa correta:
(a) Apenas as afirmativas 1 e 3 estão corretas.
(b) Apenas as afirmativas 1, 3 e 5 estão corretas.
(c) Apenas as afirmativas 2 e 4 estão corretas.
(d) Apenas as afirmativas 1, 2, 3 e 5 estão corretas.
(e) Todas as afirmativas estão corretas.
O momento angular orbital do satélite é dado por
(1) O momento angular do satélite permanece constante enquanto nenhuma força exercida sobre ele gerar torque resultante em relação ao centro da Terra.
(2) Se o satélite fosse colocado em uma órbita circular de raio maior, mantendo a velocidade orbital
(3) A força gravitacional não realiza torque em relação ao centro da Terra, pois está sempre direcionada para o centro.
(4) Se o satélite passasse a orbitar em uma órbita elíptica, o momento angular permaneceria constante ao longo de toda a órbita.
(5) O vetor momento angular do satélite é perpendicular ao plano orbital.
(a) Apenas as afirmativas 1 e 3 estão corretas.
(b) Apenas as afirmativas 1, 3 e 5 estão corretas.
(c) Apenas as afirmativas 2 e 4 estão corretas.
(d) Apenas as afirmativas 1, 2, 3 e 5 estão corretas.
(e) Todas as afirmativas estão corretas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que a gente avalie as afirmativas numeradas de 1 a 5:
- Temos um satélite de massa
em órbita circular de raio e velocidade orbital . - O momento angular orbital fornecido é
As afirmativas a analisar são:
(1) O momento angular do satélite permanece constante enquanto nenhuma força exercida sobre ele gerar torque resultante em relação ao centro da Terra.
(2) Se o satélite fosse colocado em uma órbita circular de raio maior, mantendo a velocidade orbital , seu momento angular aumentaria.
(3) A força gravitacional não realiza torque em relação ao centro da Terra, pois está sempre direcionada para o centro.
(4) Se o satélite passasse a orbitar em uma órbita elíptica, o momento angular permaneceria constante ao longo de toda a órbita.
(5) O vetor momento angular do satélite é perpendicular ao plano orbital.
(1) O momento angular do satélite permanece constante enquanto nenhuma força exercida sobre ele gerar torque resultante em relação ao centro da Terra.
(2) Se o satélite fosse colocado em uma órbita circular de raio maior, mantendo a velocidade orbital
(3) A força gravitacional não realiza torque em relação ao centro da Terra, pois está sempre direcionada para o centro.
(4) Se o satélite passasse a orbitar em uma órbita elíptica, o momento angular permaneceria constante ao longo de toda a órbita.
(5) O vetor momento angular do satélite é perpendicular ao plano orbital.
Não resolvo nada neste passo, só enumerei o que o problema deu e o que ele pede.
Passo 2
Conceitos fundamentais que vamos usar (explicados devagarinho).
Definição vetorial do momento angular: para uma partícula com posição
em relação a um ponto de referência (aqui o centro da Terra) e momento linear
, o vetor momento angular é
- Aqui
é o vetor posição do satélite em relação ao centro da Terra. -
é o momento linear, . - O sinal
é o produto vetorial (cross product), que dá um vetor perpendicular ao plano formado por e .
Definição de torque (momento de força): a taxa de variação do momento angular é igual ao torque resultante em relação ao mesmo ponto:
onde
é a força resultante aplicada à partícula. Isso é uma consequência direta da segunda lei de Newton e das propriedades do produto vetorial.
Interpretação prática: se o torque resultante
em relação ao centro da Terra for nulo, então
e
é constante (tanto em módulo quanto em direção).
Passo 3
Analisando a afirmativa (1).
Afirmativa (1): “O momento angular do satélite permanece constante enquanto nenhuma força exercida sobre ele gerar torque resultante em relação ao centro da Terra.”
Usando a fórmula do passo anterior:
Se
, então
e
é constante. Essa é exatamente a declaração da afirmativa (1). Portanto, (1) é correta.
Comentário amigo: isso é direto da definição — conserve o torque zero, conserva-se o momento angular. Respira, ok.
Passo 4
Analisando a afirmativa (3) primeiro (porque ela garante argumentos para outras).
Afirmativa (3): “A força gravitacional não realiza torque em relação ao centro da Terra, pois está sempre direcionada para o centro.”
A força gravitacional sobre o satélite tem direção radial, isto é,
onde
é o versor na direção do vetor posição
. O torque é
Como
é paralelo a
, o produto vetorial entre vetores paralelos é zero. Logo
. Portanto, a força gravitacional exerce torque nulo com respeito ao centro da Terra — a justificativa da afirmativa está correta. Assim, (3) é correta.
Pequena intuição: se a força aponta exatamente para o ponto em torno do qual medimos torque, ela não “tenta girar” o corpo em torno desse ponto.
Passo 5
Com (1) e (3) entendidas, avaliamos a afirmativa (4) sobre órbita elíptica.
Afirmativa (4): “Se o satélite passasse a orbitar em uma órbita elíptica, o momento angular permaneceria constante ao longo de toda a órbita.”
Explicação: a força gravitacional entre Terra e satélite continua sendo uma força central, isto é, depende só de
e aponta radialmente para o centro. Já vimos que uma força central gera torque nulo em relação ao centro. Assim, para qualquer trajetória sob apenas a força gravitacional (incluindo órbitas elípticas do tipo Keplerianas), temos
e portanto
em módulo e direção. Isso significa que mesmo numa órbita elíptica, o momento angular permanece constante ao longo de toda a órbita. Portanto, (4) é correta.
Conexão útil: essa conservação é justamente a origem da Lei das Áreas de Kepler — a área varrida pelo raio vetor é proporcional a tempo porque a areal velocity é
, constante.
Passo 6
Analisando a afirmativa (5).
Afirmativa (5): “O vetor momento angular do satélite é perpendicular ao plano orbital.”
Raciocínio:
. O produto vetorial de dois vetores produz um vetor perpendicular ao plano que contém esses vetores. No movimento orbital de uma partícula sob uma força central, o vetor posição
e a velocidade
(portanto
) ficam sempre contidos no plano orbital. Logo
é perpendicular a esse plano orbital. Assim, (5) é correta.
Intuição prática: imagine o plano da órbita como uma folha; o momento angular “aponta” para cima ou para baixo dessa folha (regra da mão direita).
Passo 7
Agora voltamos à afirmativa (2), que é um pouco mais direta em forma algébrica mas merece cuidado conceitual.
Afirmativa (2): “Se o satélite fosse colocado em uma órbita circular de raio maior, mantendo a velocidade orbital
, seu momento angular aumentaria.”
Matematicamente, para a situação dada (velocidade
e raio
numa órbita circular) o momento angular escalar (módulo) é dado por
Se você aumenta
e mantém
fixo, então
aumenta proporcionalmente a
. Logo, na literalidade da afirmação, ela é verdadeira: aumentar o raio mantendo a mesma velocidade implica aumento de
.
Caveat físico (explicado calmamente): numa órbita circular estável em torno de uma massa
a velocidade circular depende do raio pela relação
Portanto, se você “coloca o satélite” numa outra órbita circular de raio maior sem mudar sua velocidade por mágica (ou seja, mantendo
fixo por meio de um impulso inicial), então a afirmação matemática é correta. Mas se a situação for “só deixá-lo livre” e esperar que se ajuste a uma órbita circular natural, não é possível manter
constante ao aumentar
— a velocidade circular exigida diminuiria. A afirmativa não contradiz a matemática de
; ela só fala de um hipotético procedimento onde
é mantido. Portanto, (2) é correta na leitura direta.
Passo 8
Resumo lógico das cinco afirmativas com justificativas curtas:
- (1) correta: conservação de
quando torque resultante é zero. - (2) correta: pela fórmula
, aumentando com fixo, aumenta (observação física: velocidade circular natural muda com , mas a afirmação trata do caso em que é mantido). - (3) correta: força gravitacional é radial, logo
. - (4) correta: força central implica torque nulo, logo
é conservado mesmo em órbitas elípticas. - (5) correta:
é perpendicular ao plano que contém e , i.e., ao plano orbital.
Portanto todas as afirmativas são verdadeiras.
Resposta
(e)