1. Uma partícula se move no plano x y com uma aceleração que só tem componente x igual a 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. A partícula sai da origem em t=0, com velocidade inicial com componente x de 20,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a componente y de -15,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. a) Escreva o vetor aceleração em termos dos vetores unitários \vec{i} e \vec{j}. b) Escreva o vetor velocidade inicial em termos dos vetores unitários e determine o seu módulo. c) Determinar o vetor velocidade em termos dos vetores \vec{i} e \vec{j} em t=5 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado trata de cinemática vetorial bidimensional com aceleração constante. Temos uma partícula no plano xy cujos dados em t=0 são:
– posição inicial na origem;
– velocidade inicial com componentes v_{0x}=20{,}0\\ \mathrm{m/s} e v_{0y}=-15{,}0\\ \mathrm{m/s};
– aceleração com única componente a_x=4{,}0\\ \mathrm{m/s^2} e a_y=0.
Precisamos:
a) escrever \vec{a} em \vec{i},\vec{j};
b) escrever \vec{v}_0 em \vec{i},\vec{j} e achar |\vec{v}_0|;
c) achar \vec{v}(t) em t=5\\ \mathrm{s}.

Passo 2

A aceleração só tem componente em x, logo
\vec{a} = a_x\,\vec{i} + a_y\,\vec{j} = 4{,}0\,\vec{i} + 0\,\vec{j}\quad(\mathrm{m/s^2}).

Passo 3

A velocidade inicial em termos de \vec{i},\vec{j} é
\vec{v}_0 = v_{0x}\,\vec{i} + v_{0y}\,\vec{j} = 20{,}0\,\vec{i} - 15{,}0\,\vec{j}\quad(\mathrm{m/s}).
Para o módulo usamos o Teorema de Pitágoras:
|\vec{v}_0| = \sqrt{(20{,}0)^2 + (-15{,}0)^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Com aceleração constante, \vec{v}(t)=\vec{v}_0 + \vec{a}\,t. Em t=5\\ \mathrm{s}:
– componente x: v_x = 20{,}0 + 4{,}0 \times 5 = 40{,}0\\ \mathrm{m/s};
– componente y: v_y = -15{,}0 + 0 \times 5 = -15{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Logo
\vec{v}(5) = 40{,}0\,\vec{i} - 15{,}0\,\vec{j}\quad(\mathrm{m/s}).

Resposta

(a) \vec{a} = 4{,}0\,\vec{i} + 0\,\vec{j}\\ \mathrm{(m/s^2)}
(b) \vec{v}_0 = 20{,}0\,\vec{i} - 15{,}0\,\vec{j}\\ \mathrm{(m/s)},\quad|\vec{v}_0|=25\\ \mathrm{m/s}
(c) \vec{v}(5) = 40{,}0\,\vec{i} - 15{,}0\,\vec{j}\\ \mathrm{(m/s)}

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