1. Numa sala de aula, considere a posição do professor coincidente com a origem. Há duas alunas, A e B, sentadas em torno de uma classe, com posições dadas por, respectivamente, \vec{r}_{A}=(10 \vec{i}+0,5 \vec{j}) m e \vec{r}_{B}=(10 \vec{i}-0,5 \vec{j}) m e que estão jogando cartas. Como o professor acha essa atitude inadequada, resolve advertí-las, jogando um pedaço de giz de 0,005 \mathrm{~kg} que cai na classe exatamente à meia distância entre A e B. a) Determine a distância entre as duas alunas. O giz na mão do professor (ponto inicial do lançamento) e o giz na classe (ponto final do lançamento) estão afastados do chão por 0,75 \mathrm{~m}; o lançamento dura 1,3 \mathrm{~s}. b) Sendo que o giz é lançado pelo professor com uma velocidade \vec{V} que forma um ângulo \theta=40^{\circ} com o plano horizontal, determine o valor de V.
    R: a) 1 m ; b) V \approx 10 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}.

Passo 1

O enunciado dá as posições das alunas A e B medidas a partir da origem (posição do professor): \vec{r}_{A}=(10\,\vec{i}+0,5\,\vec{j}),m e \vec{r}_{B}=(10\,\vec{i}-0,5\,\vec{j}),m.
Pede-se:
a) a distância entre A e B (usar distância euclidiana em \mathbb{R}^2);
b) a velocidade inicial V de um projétil lançado num ângulo \theta=40^\circ, que leva t=1,3,s para ir de 0,75,m até 0,75,m de altura e aterrar exatamente no ponto médio de A e B (usar a cinemática do movimento uniformemente acelerado sem resistência do ar).

Passo 2

Para a distância entre A e B, use
d = \sqrt{\bigl(x_B - x_A\bigr)^2 + \bigl(y_B - y_A\bigr)^2}.
Aqui x_A=10, y_A=0,5, x_B=10, y_B=-0,5.

Passo 3

Calculando
d = \sqrt{(10-10)^2 + \bigl(-0,5 - 0,5\bigr)^2} = \sqrt{0 + (-1)^2} = 1\\ \mathrm{m}.

Passo 4

O giz cai no ponto médio de A e B. Esse ponto tem coordenadas
\vec{r}_{\text{médio}} = \tfrac12\bigl(\vec{r}_A + \vec{r}_B\bigr) = (10\,\vec{i} + 0\,\vec{j})\\ \mathrm{m},é
logo o deslocamento horizontal é x=10,m. No movimento do projétil, desprezando resistência do ar, vale
x = V\cos\theta\;t.
Isolando V
V = \frac{x}{t\cos\theta}.

Passo 5

Substituindo x=10,m, t=1,3,s e \theta=40^\circ:
V = \frac{10}{1,3\cos40^\circ} \approx \frac{10}{1,3 \times 0,7660} \approx 10,04\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

a) 1\\ \mathrm{m}
b) V \approx 10\\ \mathrm{m/s}

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