A posição de uma partícula num sistema de coordenadas O, medida em metros, é determinada pelo vetor \mathbf{r}= \left(6 t^{2}-4 t\right) \hat{\mathbf{\imath}}-3 t^{3} \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}}. A posição da mesma partícula em relação ao sistema de coordenadas O^{\prime} é determinada pelo vetor \mathbf{r}^{\prime}=\left(6 t^{2}+3 t\right) \hat{\mathbf{i}}-3 t^{3} \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}}. Demonstre que a aceleração da partícula é a mesma em ambos os sistemas.

Passo 1

O enunciado dá as posições da partícula nos dois sistemas de coordenadas e pede para mostrar que as acelerações são iguais. Dados relevantes:
\mathbf{r} = \left(6 t^{2}-4 t\right)\hat{\mathbf{\imath}} - 3 t^{3}\hat{\mathbf{j}} + 3\hat{\mathbf{k}}
\mathbf{r}^{\prime} = \left(6 t^{2}+3 t\right)\hat{\mathbf{\imath}} - 3 t^{3}\hat{\mathbf{j}} + 3\hat{\mathbf{k}}
O que se pede: demonstrar que a aceleração calculada a partir de \mathbf{r} é a mesma que a calculada a partir de \mathbf{r}^{\prime}.

Passo 2

Lembrete rápido e didático sobre derivadas de vetores em coordenadas cartesianas: A velocidade é a derivada temporal da posição,
\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt},
e a aceleração é a derivada temporal da velocidade,
\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}.
Quando os vetores são dados em componentes sobre os mesmos vetores unitários fixos \hat{\mathbf{\imath}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}, podemos derivar componente a componente. Regra útil de derivação de polinômios: \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{\,n-1}.

Passo 3

Calculemos a velocidade \mathbf{v} a partir de \mathbf{r} derivando componente a componente.
Componente x de \mathbf{r}: x(t)=6t^{2}-4t.
\frac{dx}{dt}= \frac{d}{dt}(6t^{2}-4t)=6\cdot 2 t -4 =12t-4.
Componente y de \mathbf{r}: y(t)=-3t^{3}.
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(-3t^{3})=-3\cdot 3 t^{2} = -9t^{2}.
Componente z de \mathbf{r}: z(t)=3 (constante).
\frac{dz}{dt}=0.
Logo a velocidade é
\mathbf{v}=(12t-4)\hat{\mathbf{\imath}} -9t^{2}\hat{\mathbf{j}} + 0\hat{\mathbf{k}}.
Agora derivamos novamente para obter a aceleração \mathbf{a}.
Derivando a componente x:
\frac{d}{dt}(12t-4)=12.
Derivando a componente y:
\frac{d}{dt}(-9t^{2})=-9\cdot 2 t = -18t.
Derivando a componente z:
\frac{d}{dt}(0)=0.
Portanto, a aceleração obtida de \mathbf{r} é
\mathbf{a} = 12\hat{\mathbf{\imath}} -18t\hat{\mathbf{j}} + 0\hat{\mathbf{k}}.

Passo 4

Agora calculamos a aceleração a partir de \mathbf{r}^{\prime} exatamente do mesmo modo, derivando componente a componente.
Componente x de \mathbf{r}^{\prime}: x'(t)=6t^{2}+3t.
\frac{dx'}{dt}= \frac{d}{dt}(6t^{2}+3t)=6\cdot 2 t +3 =12t+3.
Derivando de novo:
\frac{d^{2}x'}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}(12t+3)=12.
Componente y de \mathbf{r}^{\prime}: é a mesma: -3t^{3}. Então as derivadas são iguais às anteriores, logo a segunda derivada é -18t.
Componente z de \mathbf{r}^{\prime}: é a mesma constante 3, logo segunda derivada 0.
Portanto a aceleração obtida de \mathbf{r}^{\prime} é
\mathbf{a}^{\prime} = 12\hat{\mathbf{\imath}} -18t\hat{\mathbf{j}} + 0\hat{\mathbf{k}}.

Passo 5

Comparando os resultados dos passos anteriores vemos que
\mathbf{a}=\mathbf{a}^{\prime}.
Um jeito alternativo e curto de ver isso: \mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}=(7t)\hat{\mathbf{\imath}}. Essa diferença depende linearmente de t, cuja segunda derivada é zero, então a segunda derivada de \mathbf{r}^{\prime} e de \mathbf{r} coincide — isto é, as acelerações são iguais.

Resposta

\mathbf{a}=\mathbf{a}^{\prime}=12\hat{\mathbf{\imath}}-18t\hat{\mathbf{j}}+0\hat{\mathbf{k}}

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