A posição de uma partícula num sistema de coordenadas
, medida em metros, é determinada pelo vetor
. A posição da mesma partícula em relação ao sistema de coordenadas
é determinada pelo vetor
. Demonstre que a aceleração da partícula é a mesma em ambos os sistemas.
Passo 1
O enunciado dá as posições da partícula nos dois sistemas de coordenadas e pede para mostrar que as acelerações são iguais. Dados relevantes:
O que se pede: demonstrar que a aceleração calculada a partir de
é a mesma que a calculada a partir de
.
Passo 2
Lembrete rápido e didático sobre derivadas de vetores em coordenadas cartesianas: A velocidade é a derivada temporal da posição,
e a aceleração é a derivada temporal da velocidade,
Quando os vetores são dados em componentes sobre os mesmos vetores unitários fixos
, podemos derivar componente a componente. Regra útil de derivação de polinômios:
.
Passo 3
Calculemos a velocidade
a partir de
derivando componente a componente.
Componente
de
:
.
Componente
de
:
.
Componente
de
:
(constante).
Logo a velocidade é
Agora derivamos novamente para obter a aceleração
.
Derivando a componente
:
Derivando a componente
:
Derivando a componente
:
Portanto, a aceleração obtida de
é
Passo 4
Agora calculamos a aceleração a partir de
exatamente do mesmo modo, derivando componente a componente.
Componente
de
:
.
Derivando de novo:
Componente
de
: é a mesma:
. Então as derivadas são iguais às anteriores, logo a segunda derivada é
.
Componente
de
: é a mesma constante
, logo segunda derivada
.
Portanto a aceleração obtida de
é
Passo 5
Comparando os resultados dos passos anteriores vemos que
Um jeito alternativo e curto de ver isso:
. Essa diferença depende linearmente de
, cuja segunda derivada é zero, então a segunda derivada de
e de
coincide — isto é, as acelerações são iguais.