Uma partícula move-se no plano e a sua posição ( \boldsymbol{r} em metros) em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial \boldsymbol{r}(t)=\left(60 t,-5 t^{2}+80 t\right). Calcule:
a) A velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=0 e t=1 \mathrm{~s}.
c) O instante de tempo em que a partícula alcança a altura máxima (para \mathrm{t}>0 ).
d) A altura máxima alcançada ( \mathrm{y}_{\text {max }} ).
e) O instante de tempo em que a partícula bate no solo.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula no plano em função do tempo e pede cinco coisas. Dados e perguntas importantes:
A posição vetorial é \boldsymbol{r}(t)=\left(60t,\,-5t^{2}+80t\right), com t em segundos e \boldsymbol{r} em metros.
Perguntas:
a) Calcular a velocidade \boldsymbol{v}(t) e a aceleração \boldsymbol{a}(t) em função do tempo.
b) Calcular a velocidade média e a aceleração média entre t=0 e t=1 s.
c) Determinar o instante t>0 em que a partícula alcança a altura máxima.
d) Determinar a altura máxima \mathrm{y}_{\text{max}}.
e) Determinar o instante em que a partícula bate no solo (isto é, quando a altura y=0, tomando t>0).
Passo 2
Conceito e método para a velocidade: a velocidade instantânea \boldsymbol{v}(t) é a derivada da posição em relação ao tempo, feita componente a componente. Se \boldsymbol{r}(t)=\big(x(t),y(t)\big), então
\boldsymbol{v}(t)=\big(x'(t),\,y'(t)\big).
Agora derivamos cada componente de \boldsymbol{r}(t).
Passo 3
Derivando as componentes de \boldsymbol{r}(t):
Para a componente x(t)=60t, a derivada é x'(t)=60 (regra: derivada de at é a).
Para a componente y(t)=-5t^{2}+80t, usamos a regra potência: \frac{d}{dt}(t^{2})=2t. Assim
y'(t)=-5\cdot 2t + 80 = -10t + 80.
Portanto a velocidade instantânea é
\boldsymbol{v}(t)=\big(60,\,-10t+80\big).
Passo 4
Conceito e método para a aceleração: a aceleração instantânea \boldsymbol{a}(t) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, novamente componente a componente. Ou seja,
\boldsymbol{a}(t)=\boldsymbol{v}'(t).
Agora derivamos as componentes de \boldsymbol{v}(t).
Observação: isto coincide com \boldsymbol{a}(t) porque a aceleração é constante.
Passo 10
Instante de altura máxima: a altura é a componente y(t)=-5t^{2}+80t. Um máximo ocorre quando a derivada y'(t)=0 (e a segunda derivada for negativa). Já calculámos y'(t)=-10t+80. Igualando a zero:
-10t+80=0.
Resolvendo para t,
-10t=-80 \implies t=8\\ \text{s}.
Verificação rápida: y''(t)=-10<0, logo é realmente um máximo.
Passo 11
Altura máxima \mathrm{y}_{\text{max}}: basta avaliar y(t) em t=8:
Instante em que a partícula bate no solo: resolver y(t)=0 para t>0. Temos
-5t^{2}+80t=0.
Fatorando:
-5t(t-16)=0.
As soluções são t=0 e t=16. O enunciado pede t>0, portanto a partícula bate no solo em
t=16\\ \text{s}.
Resposta
a) \boldsymbol{v}(t)=\big(60,\,-10t+80\big) m/s;; \boldsymbol{a}(t)=\big(0,\,-10\big) m/s^2
b) \overline{\boldsymbol{v}}=(60,\,75) m/s;; \overline{\boldsymbol{a}}=(0,\,-10) m/s^2
c) t=8 s
d) \mathrm{y}_{\text{max}}=320 m
e) t=16 s