Uma partícula move-se no plano e a sua posição ( \boldsymbol{r} em metros) em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial \boldsymbol{r}(t)=\left(60 t,-5 t^{2}+80 t\right). Calcule:
a) A velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=0 e t=1 \mathrm{~s}.
c) O instante de tempo em que a partícula alcança a altura máxima (para \mathrm{t}>0 ).
d) A altura máxima alcançada ( \mathrm{y}_{\text {max }} ).
e) O instante de tempo em que a partícula bate no solo.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula no plano em função do tempo e pede cinco coisas. Dados e perguntas importantes:
  • A posição vetorial é \boldsymbol{r}(t)=\left(60t,\,-5t^{2}+80t\right), com t em segundos e \boldsymbol{r} em metros.
  • Perguntas:
    a) Calcular a velocidade \boldsymbol{v}(t) e a aceleração \boldsymbol{a}(t) em função do tempo.
    b) Calcular a velocidade média e a aceleração média entre t=0 e t=1 s.
    c) Determinar o instante t>0 em que a partícula alcança a altura máxima.
    d) Determinar a altura máxima \mathrm{y}_{\text{max}}.
    e) Determinar o instante em que a partícula bate no solo (isto é, quando a altura y=0, tomando t>0).

Passo 2

Conceito e método para a velocidade: a velocidade instantânea \boldsymbol{v}(t) é a derivada da posição em relação ao tempo, feita componente a componente. Se \boldsymbol{r}(t)=\big(x(t),y(t)\big), então
\boldsymbol{v}(t)=\big(x'(t),\,y'(t)\big).
Agora derivamos cada componente de \boldsymbol{r}(t).

Passo 3

Derivando as componentes de \boldsymbol{r}(t):
  • Para a componente x(t)=60t, a derivada é x'(t)=60 (regra: derivada de at é a).
  • Para a componente y(t)=-5t^{2}+80t, usamos a regra potência: \frac{d}{dt}(t^{2})=2t. Assim
y'(t)=-5\cdot 2t + 80 = -10t + 80.
Portanto a velocidade instantânea é
\boldsymbol{v}(t)=\big(60,\,-10t+80\big).

Passo 4

Conceito e método para a aceleração: a aceleração instantânea \boldsymbol{a}(t) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, novamente componente a componente. Ou seja,
\boldsymbol{a}(t)=\boldsymbol{v}'(t).
Agora derivamos as componentes de \boldsymbol{v}(t).

Passo 5

Derivando \boldsymbol{v}(t)=\big(60,\,-10t+80\big):
  • A derivada de 60 em relação a t é 0.
  • A derivada de -10t+80 é -10 (derivada de -10t é -10, de constante é 0).
    Logo
\boldsymbol{a}(t)=\big(0,\,-10\big).
Aqui a aceleração é constante e aponta na direção negativa do eixo y.

Passo 6

Definição e cálculo da velocidade média entre t_{0} e t_{1}: a velocidade média é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo,
\overline{\boldsymbol{v}}=\frac{\boldsymbol{r}(t_{1})-\boldsymbol{r}(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}.
Vamos aplicar para t_{0}=0 e t_{1}=1.

Passo 7

Calculemos \boldsymbol{r}(0) e \boldsymbol{r}(1):
\boldsymbol{r}(0)=\big(60\cdot 0,\,-5\cdot 0^{2}+80\cdot 0\big)=(0,0),
\boldsymbol{r}(1)=\big(60\cdot 1,\,-5\cdot 1^{2}+80\cdot 1\big)=(60,\,75).
Deslocamento em [0,1] é (60,75)-(0,0)=(60,75). Como \Delta t=1, a velocidade média é
\overline{\boldsymbol{v}}=\big(60,\,75\big)\\ \text{m/s}.

Passo 8

Definição e cálculo da aceleração média entre t_{0} e t_{1}: a aceleração média é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo,
\overline{\boldsymbol{a}}=\frac{\boldsymbol{v}(t_{1})-\boldsymbol{v}(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}.
Vamos aplicar para t_{0}=0 e t_{1}=1.

Passo 9

Calculemos \boldsymbol{v}(0) e \boldsymbol{v}(1) usando \boldsymbol{v}(t)=\big(60,\,-10t+80\big):
\boldsymbol{v}(0)=\big(60,\,80\big), \qquad \boldsymbol{v}(1)=\big(60,\,70\big).
A variação é \boldsymbol{v}(1)-\boldsymbol{v}(0)=(0,\,-10). Com \Delta t=1,
\overline{\boldsymbol{a}}=(0,\,-10)\\ \text{m/s}^{2}.
Observação: isto coincide com \boldsymbol{a}(t) porque a aceleração é constante.

Passo 10

Instante de altura máxima: a altura é a componente y(t)=-5t^{2}+80t. Um máximo ocorre quando a derivada y'(t)=0 (e a segunda derivada for negativa). Já calculámos y'(t)=-10t+80. Igualando a zero:
-10t+80=0.
Resolvendo para t,
-10t=-80 \implies t=8\\ \text{s}.
Verificação rápida: y''(t)=-10<0, logo é realmente um máximo.

Passo 11

Altura máxima \mathrm{y}_{\text{max}}: basta avaliar y(t) em t=8:
y(8)=-5\cdot 8^{2}+80\cdot 8 = -5\cdot 64 + 640 = -320 + 640 = 320.
Portanto \mathrm{y}_{\text{max}}=320 m.

Passo 12

Instante em que a partícula bate no solo: resolver y(t)=0 para t>0. Temos
-5t^{2}+80t=0.
Fatorando:
-5t(t-16)=0.
As soluções são t=0 e t=16. O enunciado pede t>0, portanto a partícula bate no solo em
t=16\\ \text{s}.

Resposta

a) \boldsymbol{v}(t)=\big(60,\,-10t+80\big) m/s;; \boldsymbol{a}(t)=\big(0,\,-10\big) m/s ^2
b) \overline{\boldsymbol{v}}=(60,\,75) m/s;; \overline{\boldsymbol{a}}=(0,\,-10) m/s ^2
c) t=8 s
d) \mathrm{y}_{\text{max}}=320 m
e) t=16 s

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