Uma partícula move-se no plano e a sua posição ( \boldsymbol{r} em metros) em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial \boldsymbol{r}(t)=\left(40 t,-5 t^{2}+30 t\right). Calcule:
a) A velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=0 e t=2 \mathrm{~s}.
c) O instante de tempo em que a partícula alcança a altura máxima para t>0.
d) A altura máxima alcançada ( y_{\text {max }} ).
e) O instante de tempo em que a partícula bate no solo ( y=0 ).
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula no plano como a função vetorial \boldsymbol{r}(t)=\left(40t,\,-5t^{2}+30t\right), com t em segundos e posições em metros. As perguntas são:
a) Calcular a velocidade e a aceleração em função do tempo.
b) Calcular a velocidade média e a aceleração média entre t=0 e t=2\\ \mathrm{s}.
c) Determinar o instante t>0 em que a partícula atinge a altura máxima.
d) Calcular a altura máxima y_{\text{max}}.
e) Determinar o instante em que a partícula volta ao solo (y=0).
Informações relevantes dadas: a posição vetorial \boldsymbol{r}(t)=\left(40t,\,-5t^{2}+30t\right). Nada mais é pedido além do que está acima.
Passo 2
Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo: sempre derivamos componente a componente. Se \boldsymbol{r}(t)=\big(x(t),\,y(t)\big), então \boldsymbol{v}(t)=\boldsymbol{r}'(t)=\big(x'(t),\,y'(t)\big).
Aqui x(t)=40t e y(t)=-5t^{2}+30t. Derivando:
A derivada de 40t em relação a t é 40 (regra: derivada de at é a).
A derivada de -5t^{2}+30t é -10t+30 (regra: derivada de t^{2} é 2t, multiplicar pelo coeficiente).
Aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: \boldsymbol{a}(t)=\boldsymbol{v}'(t)=\boldsymbol{r}''(t). Derivando cada componente de \boldsymbol{v}(t)=\left(40,\,-10t+30\right):
Note que como a aceleração é constante, a aceleração média coincide com a aceleração instantânea: \left(0,\,-10\right)\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Passo 6
Para achar o instante em que a partícula alcança a altura máxima (com t>0) consideramos a componente vertical y(t)=-5t^{2}+30t. Um ponto de máximo ocorre quando a velocidade vertical é zero (derivada de y(t) igual a zero) e a concavidade é para baixo.
A velocidade vertical é a segunda componente de \boldsymbol{v}(t), ou seja v_y(t)=-10t+30. Igualando a zero:
Verificamos a concavidade: a segunda derivada y''(t)=-10<0, então é realmente um máximo. Portanto a partícula atinge a altura máxima em t=3\\ \mathrm{s}.
Para achar quando a partícula bate no solo resolvemos y(t)=0 para t\ge 0. A equação é
-5t^{2}+30t=0.
Fatorando:
-5t(t-6)=0.
As soluções são t=0 e t=6. O instante t=0 é o lançamento; o instante posterior em que retorna ao solo é t=6\\ \mathrm{s}. Portanto a colisão com o solo (para t>0) ocorre em t=6\\ \mathrm{s}.