Uma partícula move-se no plano e a sua posição ( \boldsymbol{r} em metros) em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial \boldsymbol{r}(t)=\left(40 t,-5 t^{2}+30 t\right). Calcule:
a) A velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=0 e t=2 \mathrm{~s}.
c) O instante de tempo em que a partícula alcança a altura máxima para t>0.
d) A altura máxima alcançada ( y_{\text {max }} ).
e) O instante de tempo em que a partícula bate no solo ( y=0 ).

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula no plano como a função vetorial \boldsymbol{r}(t)=\left(40t,\,-5t^{2}+30t\right), com t em segundos e posições em metros. As perguntas são:
a) Calcular a velocidade e a aceleração em função do tempo.
b) Calcular a velocidade média e a aceleração média entre t=0 e t=2\\ \mathrm{s}.
c) Determinar o instante t>0 em que a partícula atinge a altura máxima.
d) Calcular a altura máxima y_{\text{max}}.
e) Determinar o instante em que a partícula volta ao solo ( y=0).
Informações relevantes dadas: a posição vetorial \boldsymbol{r}(t)=\left(40t,\,-5t^{2}+30t\right). Nada mais é pedido além do que está acima.

Passo 2

Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo: sempre derivamos componente a componente. Se \boldsymbol{r}(t)=\big(x(t),\,y(t)\big), então \boldsymbol{v}(t)=\boldsymbol{r}'(t)=\big(x'(t),\,y'(t)\big).
Aqui x(t)=40t e y(t)=-5t^{2}+30t. Derivando:
  • A derivada de 40t em relação a t é 40 (regra: derivada de at é a).
  • A derivada de -5t^{2}+30t é -10t+30 (regra: derivada de t^{2} é 2t, multiplicar pelo coeficiente).
Logo
\boldsymbol{v}(t)=\boldsymbol{r}'(t)=\left(40,\,-10t+30\right).

Passo 3

Aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: \boldsymbol{a}(t)=\boldsymbol{v}'(t)=\boldsymbol{r}''(t). Derivando cada componente de \boldsymbol{v}(t)=\left(40,\,-10t+30\right):
  • A derivada de 40 é 0 (constante).
  • A derivada de -10t+30 é -10.
Portanto
\boldsymbol{a}(t)=\boldsymbol{r}''(t)=\left(0,\,-10\right).
Isto significa aceleração vertical constante para baixo de 10\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Para a velocidade média entre t_1 e t_2 usamos a definição em termos do deslocamento médio:
\overline{\boldsymbol{v}}=\frac{\boldsymbol{r}(t_2)-\boldsymbol{r}(t_1)}{t_2-t_1}.
Aplicando com t_1=0 e t_2=2:
  • Primeiro calcule \boldsymbol{r}(0). Como \boldsymbol{r}(t)=\left(40t,\,-5t^{2}+30t\right),
\boldsymbol{r}(0)=\left(40\cdot 0,\,-5\cdot 0^{2}+30\cdot 0\right)=\left(0,\,0\right).
  • Agora \boldsymbol{r}(2):
\boldsymbol{r}(2)=\left(40\cdot 2,\,-5\cdot 2^{2}+30\cdot 2\right)=\left(80,\,-5\cdot 4+60\right)=\left(80,\, -20+60\right)=\left(80,\,40\right).
  • Então
\overline{\boldsymbol{v}}=\frac{\big(80,\,40\big)-\big(0,\,0\big)}{2-0}=\frac{\big(80,\,40\big)}{2}=\left(40,\,20\right).
Assim a velocidade média entre 0 e 2\\ \mathrm{s} é \left(40,\,20\right)\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

A aceleração média entre t_1 e t_2 é
\overline{\boldsymbol{a}}=\frac{\boldsymbol{v}(t_2)-\boldsymbol{v}(t_1)}{t_2-t_1}.
Temos a expressão da velocidade \boldsymbol{v}(t)=\left(40,\,-10t+30\right).
  • Calcule \boldsymbol{v}(0)=\left(40,\,-10\cdot 0+30\right)=\left(40,\,30\right).
  • Calcule \boldsymbol{v}(2)=\left(40,\,-10\cdot 2+30\right)=\left(40,\, -20+30\right)=\left(40,\,10\right).
  • Então
\overline{\boldsymbol{a}}=\frac{\big(40,\,10\big)-\big(40,\,30\big)}{2-0}=\frac{\big(0,\,-20\big)}{2}=\left(0,\,-10\right).
Note que como a aceleração é constante, a aceleração média coincide com a aceleração instantânea: \left(0,\,-10\right)\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Para achar o instante em que a partícula alcança a altura máxima (com t>0) consideramos a componente vertical y(t)=-5t^{2}+30t. Um ponto de máximo ocorre quando a velocidade vertical é zero (derivada de y(t) igual a zero) e a concavidade é para baixo.
A velocidade vertical é a segunda componente de \boldsymbol{v}(t), ou seja v_y(t)=-10t+30. Igualando a zero:
-10t+30=0 \quad\Longrightarrow\quad -10t=-30 \quad\Longrightarrow\quad t=3.
Verificamos a concavidade: a segunda derivada y''(t)=-10<0, então é realmente um máximo. Portanto a partícula atinge a altura máxima em t=3\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Calcular a altura máxima é avaliar y(t) em t=3:
y(3)=-5\cdot 3^{2}+30\cdot 3=-5\cdot 9+90=-45+90=45.
Portanto y_{\text{max}}=45\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Para achar quando a partícula bate no solo resolvemos y(t)=0 para t\ge 0. A equação é
-5t^{2}+30t=0.
Fatorando:
-5t(t-6)=0.
As soluções são t=0 e t=6. O instante t=0 é o lançamento; o instante posterior em que retorna ao solo é t=6\\ \mathrm{s}. Portanto a colisão com o solo (para t>0) ocorre em t=6\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) \boldsymbol{v}(t)=\left(40,\,-10t+30\right), \boldsymbol{a}(t)=\left(0,\,-10\right).
(b) \overline{\boldsymbol{v}}=\left(40,\,20\right)\\ \mathrm{m/s}, \overline{\boldsymbol{a}}=\left(0,\,-10\right)\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(c) t=3\\ \mathrm{s}.
(d) y_{\text{max}}=45\\ \mathrm{m}.
(e) t=6\\ \mathrm{s}.

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