Uma partícula move-se no plano e a sua posição ( \boldsymbol{r} em metros) em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial \boldsymbol{r}(t)=\left(t^{3},-5 t^{2}+20 t\right). Calcule:
a) A velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=0 e t=2 \mathrm{~s}.
c) O instante de tempo em que a partícula alcança a altura máxima para t>0.
d) A altura máxima alcançada ( y_{\text {max }} ).
e) O instante de tempo em que a partícula bate no solo ( y=0 ).

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula no plano em função do tempo:
\boldsymbol{r}(t)=\bigl(t^{3},\,-5t^{2}+20t\bigr),
onde \boldsymbol{r} está em metros e t em segundos. As perguntas são:
a) Calcular a velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.
b) Calcular a velocidade média e a aceleração média entre t=0 e t=2\\ \mathrm{s}.
c) Determinar o instante t>0 em que a partícula alcança a altura máxima.
d) Determinar a altura máxima y_{\text{max}}.
e) Determinar o instante t>0 em que a partícula bate no solo ( y=0).
As informações relevantes: a posição \boldsymbol{r}(t) dada acima é suficiente para obter velocidade e aceleração por diferenciação das componentes; a componente vertical é y(t)=-5t^{2}+20t.

Passo 2

Como aprendemos a derivar vetores posição: a velocidade \boldsymbol{v}(t) é a derivada de \boldsymbol{r}(t) componente a componente,
\boldsymbol{v}(t)=\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}(t)=\bigl( \tfrac{d}{dt}x(t),\\ \tfrac{d}{dt}y(t)\bigr).
Regra básica usada: regra do poder (power rule) — se f(t)=t^{n} então \tfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{\,n-1}; e derivada de constante vezes função é constante vezes derivada da função. Agora calculo cada componente:
  • Para x(t)=t^{3}: \tfrac{d}{dt}t^{3}=3t^{2}.
  • Para y(t)=-5t^{2}+20t: derivo termo a termo:
    \tfrac{d}{dt}(-5t^{2})=-5\cdot 2t=-10t,
    \tfrac{d}{dt}(20t)=20.
    Somando esses termos obtemos -10t+20.
Portanto,
\boldsymbol{v}(t)=\bigl(3t^{2},\,-10t+20\bigr).

Passo 3

A aceleração \boldsymbol{a}(t) é a derivada da velocidade, novamente componente a componente:
\boldsymbol{a}(t)=\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}(t)=\bigl(\tfrac{d}{dt}(3t^{2}),\\ \tfrac{d}{dt}(-10t+20)\bigr).
Calculo cada derivada:
  • \tfrac{d}{dt}(3t^{2})=3\cdot 2t=6t.
  • \tfrac{d}{dt}(-10t+20)=-10+0=-10.
Logo,
\boldsymbol{a}(t)=\bigl(6t,\,-10\bigr).
Interpretação rápida: a aceleração vertical é constante e igual a -10\\ \mathrm{m/s^{2}} (como g aproximado), enquanto a aceleração horizontal cresce linearmente com t.

Passo 4

Definição de velocidade média: entre instantes t_{1} e t_{2},
\overline{\boldsymbol{v}}=\frac{\boldsymbol{r}(t_{2})-\boldsymbol{r}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Aqui t_{1}=0 e t_{2}=2. Primeiro calculo \boldsymbol{r}(2) e \boldsymbol{r}(0):
\boldsymbol{r}(2)=\bigl(2^{3},\,-5\cdot 2^{2}+20\cdot 2\bigr)=\bigl(8,\,-5\cdot 4+40\bigr)=\bigl(8,\, -20+40\bigr)=\bigl(8,\,20\bigr).
\boldsymbol{r}(0)=\bigl(0^{3},\,-5\cdot 0^{2}+20\cdot 0\bigr)=(0,0).
Deslocamento no intervalo: \boldsymbol{r}(2)-\boldsymbol{r}(0)=(8,20). Dividindo pelo intervalo de tempo 2-0=2 s:
\overline{\boldsymbol{v}}=\frac{(8,20)}{2}=(4,10)\\ \mathrm{m/s}.
Logo a velocidade média entre 0 e 2 s é (4,10)\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Definição de aceleração média: entre t_{1} e t_{2},
\overline{\boldsymbol{a}}=\frac{\boldsymbol{v}(t_{2})-\boldsymbol{v}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Calculo \boldsymbol{v}(2) e \boldsymbol{v}(0) usando o resultado do Passo 2:
\boldsymbol{v}(2)=\bigl(3\cdot 2^{2},\,-10\cdot 2+20\bigr)=\bigl(3\cdot 4,\,-20+20\bigr)=\bigl(12,\,0\bigr).
\boldsymbol{v}(0)=\bigl(3\cdot 0^{2},\,-10\cdot 0+20\bigr)=(0,20).
Variação de velocidade: \boldsymbol{v}(2)-\boldsymbol{v}(0)=(12,0)-(0,20)=(12,-20). Dividindo por 2 s:
\overline{\boldsymbol{a}}=\frac{(12,-20)}{2}=(6,-10)\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Observação: a componente vertical da aceleração média é -10\\ \mathrm{m/s^{2}}, igual à aceleração vertical instantânea (constante).

Passo 6

Para achar o instante de altura máxima (parte c) focamos na componente vertical y(t)=-5t^{2}+20t. Um máximo ocorre quando a velocidade vertical se anula (derivada zero) e a segunda derivada vertical for negativa. A velocidade vertical é v_{y}(t)=-10t+20 (já encontrada). Igualo a zero:
-10t+20=0 \quad\Rightarrow\quad -10t=-20 \quad\Rightarrow\quad t=2\\ \mathrm{s}.
Verificação: a segunda derivada de y(t) é \tfrac{d^{2}y}{dt^{2}}=-10, que é negativa, confirmando que t=2 s é realmente um máximo. Portanto o instante pedido é t=2\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Agora calculo a altura máxima (parte d) substituindo t=2 em y(t):
y(2)=-5\cdot 2^{2}+20\cdot 2=-5\cdot 4+40=-20+40=20.
Portanto a altura máxima é 20 metros.

Passo 8

Para achar quando a partícula bate no solo (parte e) resolvo y(t)=0:
-5t^{2}+20t=0.
Faço fatoração por -5t:
-5t(t-4)=0.
As soluções são t=0 e t=4. O instante t=0 é o início do movimento (partícula no solo), mas para t>0 a solução relevante é
t=4\\ \mathrm{s}.

Resposta

a) \boldsymbol{v}(t)=\bigl(3t^{2},\,-10t+20\bigr),\quad \boldsymbol{a}(t)=\bigl(6t,\,-10\bigr).
b) \overline{\boldsymbol{v}}_{[0,2]}=(4,10)\\ \mathrm{m/s},\quad \overline{\boldsymbol{a}}_{[0,2]}=(6,-10)\\ \mathrm{m/s^{2}}.
c) t=2\\ \mathrm{s}.
d) y_{\text{max}}=20\\ \mathrm{m}.
e) t=4\\ \mathrm{s}.

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