Uma partícula move-se no plano e a sua posição ( \boldsymbol{r} em metros) em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial \boldsymbol{r}(t)=\left(t^{3},-5 t^{2}+20 t\right). Calcule:
a) A velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=0 e t=2 \mathrm{~s}.
c) O instante de tempo em que a partícula alcança a altura máxima para t>0.
d) A altura máxima alcançada ( y_{\text {max }} ).
e) O instante de tempo em que a partícula bate no solo ( y=0 ).
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula no plano em função do tempo:
onde \boldsymbol{r} está em metros e t em segundos. As perguntas são:
a) Calcular a velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.
b) Calcular a velocidade média e a aceleração média entre t=0 e t=2\\ \mathrm{s}.
c) Determinar o instante t>0 em que a partícula alcança a altura máxima.
d) Determinar a altura máxima y_{\text{max}}.
e) Determinar o instante t>0 em que a partícula bate no solo (y=0).
As informações relevantes: a posição \boldsymbol{r}(t) dada acima é suficiente para obter velocidade e aceleração por diferenciação das componentes; a componente vertical é y(t)=-5t^{2}+20t.
Passo 2
Como aprendemos a derivar vetores posição: a velocidade \boldsymbol{v}(t) é a derivada de \boldsymbol{r}(t) componente a componente,
Regra básica usada: regra do poder (power rule) — se f(t)=t^{n} então \tfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{\,n-1}; e derivada de constante vezes função é constante vezes derivada da função. Agora calculo cada componente:
Para x(t)=t^{3}: \tfrac{d}{dt}t^{3}=3t^{2}.
Para y(t)=-5t^{2}+20t: derivo termo a termo: \tfrac{d}{dt}(-5t^{2})=-5\cdot 2t=-10t, \tfrac{d}{dt}(20t)=20.
Somando esses termos obtemos -10t+20.
Portanto,
\boldsymbol{v}(t)=\bigl(3t^{2},\,-10t+20\bigr).
Passo 3
A aceleração \boldsymbol{a}(t) é a derivada da velocidade, novamente componente a componente:
Interpretação rápida: a aceleração vertical é constante e igual a -10\\ \mathrm{m/s^{2}} (como g aproximado), enquanto a aceleração horizontal cresce linearmente com t.
Passo 4
Definição de velocidade média: entre instantes t_{1} e t_{2},
Observação: a componente vertical da aceleração média é -10\\ \mathrm{m/s^{2}}, igual à aceleração vertical instantânea (constante).
Passo 6
Para achar o instante de altura máxima (parte c) focamos na componente vertical y(t)=-5t^{2}+20t. Um máximo ocorre quando a velocidade vertical se anula (derivada zero) e a segunda derivada vertical for negativa. A velocidade vertical é v_{y}(t)=-10t+20 (já encontrada). Igualo a zero:
Verificação: a segunda derivada de y(t) é \tfrac{d^{2}y}{dt^{2}}=-10, que é negativa, confirmando que t=2 s é realmente um máximo. Portanto o instante pedido é t=2\\ \mathrm{s}.
Passo 7
Agora calculo a altura máxima (parte d) substituindo t=2 em y(t):