Uma partícula move-se no plano e a sua posição ( \boldsymbol{r} em metros) em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial \boldsymbol{r}(t)=\left(t, t^{3}-2 t^{2}\right). Calcule:
a) A velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=0 e t=1 \mathrm{~s}.
c) O instante de tempo em que a partícula alcança a altura máxima (para t>0 ).
d) A altura máxima alcançada ( y_{\text {max }} ).
e) O instante de tempo em que a partícula bate no solo ( y=0 ).

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula no plano em função do tempo:
\boldsymbol{r}(t)=\bigl(t,\;t^{3}-2t^{2}\bigr),
com \boldsymbol{r} em metros e t em segundos. As perguntas são:
a) Determinar a velocidade e a aceleração em função do tempo.
b) Calcular a velocidade média e a aceleração média entre t=0 e t=1.
c) Encontrar o instante em que a partícula alcança a altura máxima para t>0.
d) Determinar a altura máxima alcançada y_{\text{max}}.
e) Encontrar o instante em que a partícula bate no solo ( y=0).
Informações relevantes dadas: a posição tem componente horizontal x(t)=t e componente vertical y(t)=t^{3}-2t^{2}. Não há outras restrições de domínio além de t\ge 0 implícita pelo contexto físico (tempo).

Passo 2

Vamos achar velocidade \boldsymbol{v}(t) e aceleração \boldsymbol{a}(t). Regra que usamos: derivada de um vetor é a derivada componente a componente. Para funções polinomiais usamos a regra do poder (power rule): a derivada de t^n é n t^{n-1}.
Derivando componente a componente:
x(t)=t \quad\Rightarrow\quad x'(t)=1.
y(t)=t^{3}-2t^{2} \quad\Rightarrow\quad y'(t)=3t^{2}-4t,
porque \dfrac{d}{dt}t^3=3t^2 e \dfrac{d}{dt}(2t^2)=4t.
Portanto a velocidade é
\boldsymbol{v}(t)=\boldsymbol{r}'(t)=\bigl(1,\;3t^{2}-4t\bigr).
A aceleração é a derivada da velocidade componente a componente:
\frac{d}{dt}\bigl(1\bigr)=0,\qquad \frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}-4t\bigr)=6t-4.
Logo
\boldsymbol{a}(t)=\boldsymbol{v}'(t)=\bigl(0,\;6t-4\bigr).

Passo 3

Agora calculamos velocidade média e aceleração média entre t=0 e t=1.
Definições usadas:
  • Velocidade média entre t_1 e t_2 é \dfrac{\boldsymbol{r}(t_2)-\boldsymbol{r}(t_1)}{t_2-t_1}.
  • Aceleração média entre t_1 e t_2 é \dfrac{\boldsymbol{v}(t_2)-\boldsymbol{v}(t_1)}{t_2-t_1}.
Primeiro \boldsymbol{r}(1) e \boldsymbol{r}(0):
\boldsymbol{r}(1)=\bigl(1,\;1^{3}-2\cdot1^{2}\bigr)=\bigl(1,\;-1\bigr).
\boldsymbol{r}(0)=\bigl(0,\;0\bigr).
Então a velocidade média é
\overline{\boldsymbol{v}}=\frac{\boldsymbol{r}(1)-\boldsymbol{r}(0)}{1-0}=\bigl(1,\;-1\bigr).
Agora \boldsymbol{v}(1) e \boldsymbol{v}(0):
\boldsymbol{v}(1)=\bigl(1,\;3\cdot1^{2}-4\cdot1\bigr)=\bigl(1,\;-1\bigr).
\boldsymbol{v}(0)=\bigl(1,\;0\bigr).
A aceleração média é
\overline{\boldsymbol{a}}=\frac{\boldsymbol{v}(1)-\boldsymbol{v}(0)}{1-0}=\bigl(0,\;-1\bigr).
Interpretação física rápida: entre 0 e 1 s a componente horizontal da velocidade média é 1 m/s e a vertical é -1 m/s; a aceleração média tem apenas componente vertical -1 m/s ^2.

Passo 4

Para achar instantes de máximo/minimo da altura y(t) usamos a derivada vertical y'(t) (que é a componente vertical da velocidade). Se y'(t_0)=0 temos extremos locais; para classificar usamos y''(t).
Temos já y'(t)=3t^{2}-4t. Igualando a zero:
3t^{2}-4t=0 \quad\Rightarrow\quad t(3t-4)=0.
As soluções são t=0 e t=\dfrac{4}{3}\,\text{s}.
Agora a segunda derivada de y é
y''(t)=6t-4.
Avaliando em t=\dfrac{4}{3}:
y''\!\left(\dfrac{4}{3}\right)=6\cdot\dfrac{4}{3}-4=8-4=4>0.
Como y''(4/3)>0, o ponto t=\dfrac{4}{3} é um mínimo local (concavidade para cima), não um máximo.
Portanto não existe um máximo local em t>0 dado por essa condição; o único ponto crítico positivo é um mínimo local em t=\dfrac{4}{3} s.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento global de y(t)=t^{3}-2t^{2}=t^{2}(t-2) para entender se existe máxima global para t>0.
Para t\to+\infty, t^{3}-2t^{2}\sim t^{3}\to+\infty. Logo a função cresce sem limite para tempos grandes, ou seja, não há uma altura máxima global quando consideramos todo t>0 — a altura pode crescer arbitrariamente com t. Então, estritamente falando, não existe y_{\max} finito para todos os t>0.
Entretanto, se o contexto físico for “voo entre saída do solo e retorno ao solo” (ou seja, no intervalo entre dois contatos com y=0), devemos olhar ao intervalo entre raízes sucessivas de y. Vamos achar essas raízes (passo seguinte) e ver o máximo nesse intervalo.

Passo 6

Resolver y(t)=0 (isto também responde a parte e):
t^{3}-2t^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad t^{2}(t-2)=0.
As soluções são t=0 (dupla) e t=2 s. Portanto a partícula toca o solo em t=0 e novamente em t=2 s. Para t>2 a altura é positiva e cresce para +\infty.
Se considerarmos o intervalo de “voo” entre t=0 e t=2, a altura y(t) é zero nas extremidades e negativa no interior (por exemplo y(1)=-1), então o máximo nesse intervalo fechado [0,2] é y=0, atingido em t=0 e t=2. Se excluirmos t=0 e pedirem o maior instante >0 onde a altura é máxima no primeiro voo, seria t=2.

Passo 7

Calcular explicitamente a altura no ponto crítico t=4/3 (para completar a análise):
y\!\left(\tfrac{4}{3}\right)=\left(\tfrac{4}{3}\right)^{3}-2\left(\tfrac{4}{3}\right)^{2} =\dfrac{64}{27}-2\cdot\dfrac{16}{9} =\dfrac{64}{27}-\dfrac{32}{9} =\dfrac{64-96}{27}=-\dfrac{32}{27}\\ \text{m}.
Isso confirma que em t=\tfrac{4}{3} s a partícula está em um mínimo local de altura (abaixo do solo relativo ao nível y=0 entre os contatos).

Passo 8

Resumo da interpretação física:
  • Velocidade e aceleração obtidas por derivadas diretas (Passo 2).
  • Médias calculadas por diferenças (Passo 3).
  • A condição y'(t)=0 t=0 e t=4/3; t=4/3 é mínimo local (Passo 4).
  • Não existe altura máxima global para todo t>0 porque y(t)\to+\infty quando t\to+\infty (Passo 5).
  • Se restringirmos ao primeiro “voo” entre t=0 e t=2 (raízes de y), o máximo nesse intervalo é y=0 atingido em t=0 e t=2 (Passo 6).
Você está indo bem — o truque nessa questão é não assumir que “velocidade vertical zero” sempre significa máximo; é preciso checar a segunda derivada ou o comportamento global.

Resposta

a) \boldsymbol{v}(t)=\bigl(1,\;3t^{2}-4t\bigr),\qquad \boldsymbol{a}(t)=\bigl(0,\;6t-4\bigr).
b) \overline{\boldsymbol{v}}=\bigl(1,\;-1\bigr)\\ \text{m/s},\qquad \overline{\boldsymbol{a}}=\bigl(0,\;-1\bigr)\\ \text{m/s}^{2}.
c) Não existe instante de máximo global para t>0; o ponto crítico positivo é t=\dfrac{4}{3} s, que é um mínimo local.
d) Não existe y_{\max} finito para t>0 (pois y(t)\to+\infty quando t\to+\infty); se restringirmos ao primeiro intervalo de voo [0,2], então y_{\max}=0.
e) A partícula bate no solo em t=0 e em t=2 s; para t>0 a raiz relevante é t=2 s.

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