Uma partícula move-se no plano e a sua posição ( \boldsymbol{r} em metros) em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial \boldsymbol{r}(t)=\left(t, t^{3}-2 t^{2}\right). Calcule:
a) A velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=0 e t=1 \mathrm{~s}.
c) O instante de tempo em que a partícula alcança a altura máxima (para t>0 ).
d) A altura máxima alcançada ( y_{\text {max }} ).
e) O instante de tempo em que a partícula bate no solo ( y=0 ).
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula no plano em função do tempo:
\boldsymbol{r}(t)=\bigl(t,\;t^{3}-2t^{2}\bigr),
com \boldsymbol{r} em metros e t em segundos. As perguntas são:
a) Determinar a velocidade e a aceleração em função do tempo.
b) Calcular a velocidade média e a aceleração média entre t=0 e t=1.
c) Encontrar o instante em que a partícula alcança a altura máxima para t>0.
d) Determinar a altura máxima alcançada y_{\text{max}}.
e) Encontrar o instante em que a partícula bate no solo (y=0).
Informações relevantes dadas: a posição tem componente horizontal x(t)=t e componente vertical y(t)=t^{3}-2t^{2}. Não há outras restrições de domínio além de t\ge 0 implícita pelo contexto físico (tempo).
Passo 2
Vamos achar velocidade \boldsymbol{v}(t) e aceleração \boldsymbol{a}(t). Regra que usamos: derivada de um vetor é a derivada componente a componente. Para funções polinomiais usamos a regra do poder (power rule): a derivada de t^n é n t^{n-1}.
Interpretação física rápida: entre 0 e 1 s a componente horizontal da velocidade média é 1 m/s e a vertical é -1 m/s; a aceleração média tem apenas componente vertical -1 m/s^2.
Passo 4
Para achar instantes de máximo/minimo da altura y(t) usamos a derivada vertical y'(t) (que é a componente vertical da velocidade). Se y'(t_0)=0 temos extremos locais; para classificar usamos y''(t).
Como y''(4/3)>0, o ponto t=\dfrac{4}{3} é um mínimo local (concavidade para cima), não um máximo.
Portanto não existe um máximo local em t>0 dado por essa condição; o único ponto crítico positivo é um mínimo local em t=\dfrac{4}{3} s.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento global de y(t)=t^{3}-2t^{2}=t^{2}(t-2) para entender se existe máxima global para t>0.
Para t\to+\infty, t^{3}-2t^{2}\sim t^{3}\to+\infty. Logo a função cresce sem limite para tempos grandes, ou seja, não há uma altura máxima global quando consideramos todo t>0 — a altura pode crescer arbitrariamente com t. Então, estritamente falando, não existe y_{\max} finito para todos os t>0.
Entretanto, se o contexto físico for “voo entre saída do solo e retorno ao solo” (ou seja, no intervalo entre dois contatos com y=0), devemos olhar ao intervalo entre raízes sucessivas de y. Vamos achar essas raízes (passo seguinte) e ver o máximo nesse intervalo.
As soluções são t=0 (dupla) e t=2 s. Portanto a partícula toca o solo em t=0 e novamente em t=2 s. Para t>2 a altura é positiva e cresce para +\infty.
Se considerarmos o intervalo de “voo” entre t=0 e t=2, a altura y(t) é zero nas extremidades e negativa no interior (por exemplo y(1)=-1), então o máximo nesse intervalo fechado [0,2] é y=0, atingido em t=0 e t=2. Se excluirmos t=0 e pedirem o maior instante >0 onde a altura é máxima no primeiro voo, seria t=2.
Passo 7
Calcular explicitamente a altura no ponto crítico t=4/3 (para completar a análise):
Isso confirma que em t=\tfrac{4}{3} s a partícula está em um mínimo local de altura (abaixo do solo relativo ao nível y=0 entre os contatos).
Passo 8
Resumo da interpretação física:
Velocidade e aceleração obtidas por derivadas diretas (Passo 2).
Médias calculadas por diferenças (Passo 3).
A condição y'(t)=0 dá t=0 e t=4/3; t=4/3 é mínimo local (Passo 4).
Não existe altura máxima global para todo t>0 porque y(t)\to+\infty quando t\to+\infty (Passo 5).
Se restringirmos ao primeiro “voo” entre t=0 e t=2 (raízes de y), o máximo nesse intervalo é y=0 atingido em t=0 e t=2 (Passo 6).
Você está indo bem — o truque nessa questão é não assumir que “velocidade vertical zero” sempre significa máximo; é preciso checar a segunda derivada ou o comportamento global.
Resposta
a) \boldsymbol{v}(t)=\bigl(1,\;3t^{2}-4t\bigr),\qquad \boldsymbol{a}(t)=\bigl(0,\;6t-4\bigr).
b) \overline{\boldsymbol{v}}=\bigl(1,\;-1\bigr)\\ \text{m/s},\qquad \overline{\boldsymbol{a}}=\bigl(0,\;-1\bigr)\\ \text{m/s}^{2}.
c) Não existe instante de máximo global para t>0; o ponto crítico positivo é t=\dfrac{4}{3} s, que é um mínimo local.
d) Não existe y_{\max} finito para t>0 (pois y(t)\to+\infty quando t\to+\infty); se restringirmos ao primeiro intervalo de voo [0,2], então y_{\max}=0.
e) A partícula bate no solo em t=0 e em t=2 s; para t>0 a raiz relevante é t=2 s.