O deslocamento x de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dado como uma função do tempo por x(t)=A t^{2}+B t^{4}, com \times em metros e t em segundos.
(a) Ache as dimensões das constantes A e B.
(b) Supondo que A tem o valor numérico de 16,0 unida- des e B o valor numérico de 1,0 unidade, ache a velocidade instantâ- nea como uma função do tempo e
(c) a aceleração instantânea como uma fun- ção do tempo.

Passo 1

O enunciado dá o deslocamento
x(t)=A\,t^{2}+B\,t^{4}
com x em metros e t em segundos. Vamos primeiro fazer análise dimensional das constantes A e B e depois calcular a velocidade e a aceleração instantâneas, usando derivação em relação ao tempo.

Passo 2

Dimensões: sabemos que [x]=L e [t]=T.
Do termo A\,t^{2} vem
[A]\,[t]^{2} = [x] \quad\Longrightarrow\quad [A]=\frac{[x]}{[t]^{2}}=L\,T^{-2}.
Do termo B\,t^{4} vem
[B]\,[t]^{4} = [x] \quad\Longrightarrow\quad [B]=\frac{[x]}{[t]^{4}}=L\,T^{-4}.

Passo 3

A velocidade instantânea é
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Derivando x(t)=A t^{2}+B t^{4} obtemos
v(t)=2A\,t + 4B\,t^{3}.
Substituindo A=16{,}0 e B=1{,}0 (nas unidades compatíveis),
v(t)=2\cdot16{,}0\,t \;+\;4\cdot1{,}0\,t^{3} =32{,}0\,t \;+\;4{,}0\,t^{3} \quad\bigl(\mathrm{m/s}\bigr).

Passo 4

A aceleração instantânea é
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Derivando v(t)=2A\,t+4B\,t^{3}
a(t)=2A + 12B\,t^{2}.
Substituindo A=16{,}0 e B=1{,}0,
a(t)=2\cdot16{,}0 \;+\;12\cdot1{,}0\,t^{2} =32{,}0 \;+\;12{,}0\,t^{2} \quad\bigl(\mathrm{m/s^{2}}\bigr).

Resposta

(a) [A]=L\,T^{-2}, [B]=L\,T^{-4}.
(b) v(t)=32{,}0\,t + 4{,}0\,t^{3} (m/s).
(c) a(t)=32{,}0 + 12{,}0\,t^{2} (m/s²).

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