Uma partícula se move do ponto A(0,1,2) até o ponto B(3,4,5) sob a ação da força conservativa:
F(x, y, z)=(2 x i+3 y jmath+4 z k) N
Calcule o trabalho realizado por essa força ao longo do deslocamento.

Passo 1

Beleza, a questão diz que uma partícula vai de A(0,1,2) até B(3,4,5) sob a ação de uma força conservativa
F(x,y,z) = (2x),i ;+;(3y),jmath;+;(4z),k
O conteúdo aqui é campo vetorial e energia potencial em Física/Calculo vetorial. Para resolver, a gente vai:
  1. Mostrar que a força é conservativa (ou seja, tem potencial).
  2. Achar a função potencial tal que .
  3. Calcular o trabalho como .

Passo 2

Primeiro confirmando que é conservativa: basta ver que
, ,
, … enfim, todas as “derivadas cruzadas” batem, o que implica . Então existe potencial .

Passo 3

Vamos achar partial phipartial x = 2x, partial phipartial y = 3y, partial phipartial z = 4z tal que
phi(x,y,z) = x^2 + tfrac32,y^2 + 2,z^2 + C
Integramos passo a passo:
  • Da primeira: .
  • Da segunda: .
  • Da terceira: .
    Logo
O é constante e some na diferença.

Passo 4

O trabalho é
W = phi(B) - phi(A)
Calculemos:
W = 83 - 9.5 = 73.5;J

Então

Resposta

O trabalho realizado pela força no deslocamento de A até B é .

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