Se um tanque tem 5000 galões de água, que escoa pelo fundo em 40 minutos, então a Lei de Torricelli dá o volume V de água que restou no tanque depois de t minutos como
V=5000(1-140 t)^2, 0 <= t <= 40
Encontre a taxa segundo a qual a água está escoando do tanque depois de (a) 5 min, (b) 10 min, © 20 min e(d) 40 min. Em que instante o escoamento é mais rápido? E mais vagaroso?

Passo 1

Neste exercício temos um tanque com 5000 galões cujo volume restante é dado pela Lei de Torricelli por
V(t)=5000l(1-t40r)^2, 0<= t<=40
O que queremos é a taxa de variação instantânea do volume, ou seja, a derivada V'(t). Vamos usar derivadas e, em especial, a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função interna u(t)=1-tfract40, de modo que V(t)=5000,u(t)^2. Calculamos primeiro
dudt=-140
Aplicando a regra da cadeia:
V'(t)=ddtl(5000,u^2r)=5000cdot2u(t)cdotdudt=10000l(1-t40r)l(-140r)
Portanto
V'(t)=-250l(1-t40r)

Passo 3

Agora basta avaliar V'(t)=-250l(1-tfract40r) nos instantes pedidos:
a) t=5:
V'(5)=-250l(1-540r)=-250cdot3540=-218,75 gal/min
b) t=10:
V'(10)=-250l(1-1040r)=-250cdot3040=-187,5 gal/min
c) t=20:
V'(20)=-250l(1-2040r)=-250cdot2040=-125 gal/min
d) t=40:
V'(40)=-250l(1-4040r)=-250cdot0=0 gal/min

Passo 4

A derivada V'(t) é negativa e seu valor absoluto representa a vazão de saída. Note que |V'(t)|=250(1-tfract40) decresce linearmente de 250 para 0 quando t vai de 0 a 40. Logo, o escoamento é mais rápido (maior vazão) no início, em t=0, e mais vagaroso (vazão nula) no final, em t=40.

Resposta

a) -218,75 gal/min; b) -187,5 gal/min; c) -125 gal/min; d) 0 gal/min. O escoamento é mais rápido em t=0 e mais vagaroso em t=40.

Exercícios relacionados