Se um tanque tem 5000 galões de água, que escoa pelo fundo em 40 minutos, então a Lei de Torricelli dá o volume
de água que restou no tanque depois de
minutos como
Encontre a taxa segundo a qual a água está escoando do tanque depois de (a) 5 min, (b) 10 min, ©
. Em que instante o escoamento é mais rápido? E mais vagaroso?
Passo 1
Neste exercício temos um tanque com 5000 galões cujo volume restante é dado pela Lei de Torricelli por
O que queremos é a taxa de variação instantânea do volume, ou seja, a derivada
Passo 2
Definimos a função interna
, de modo que
. Calculamos primeiro
Aplicando a regra da cadeia:
Portanto
Passo 3
Agora basta avaliar
nos instantes pedidos:
a) :
a)
b)
c)
:
d)
Passo 4
A derivada
é negativa e seu valor absoluto representa a vazão de saída. Note que
decresce linearmente de 250 para 0 quando
vai de 0 a 40. Logo, o escoamento é mais rápido (maior vazão) no início, em
, e mais vagaroso (vazão nula) no final, em
.
Resposta
a) -218,75 gal/min; b) -187,5 gal/min; c) -125 gal/min; d) 0 gal/min. O escoamento é mais rápido em t=0 e mais vagaroso em t=40.