Uma partícula move-se segundo a lei do movimento
, em que
é medido em segundos e s, em metros.
Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos.
Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos.
Passo 1
O enunciado diz que a partícula segue a lei do movimento s(t)=t³−12t²+36t para t≥0 e pede a distância total percorrida em t∈[0,8]. Vamos usar cinemática unidimensional: calcular a velocidade v(t), achar onde ela muda de sinal, e somar os deslocamentos em cada trecho.
Passo 2
Derivamos s(t) pela regra de potência para obter a velocidade:
Passo 3
Para entender o sentido do movimento, analisamos o sinal de v(t) nos intervalos:
- Em 0≤t<2, v>0 (movendo-se para frente).
- Em 2<t<6, v<0 (movendo-se para trás).
- Em t>6 até 8, v>0 (anda para frente de novo).
Passo 4
Calculamos a posição nos instantes críticos:
Passo 5
Em cada trecho a distância é a variação absoluta de s(t):
- De 0 a 2 s: |s(2)−s(0)|=|32−0|=32
- De 2 a 6 s: |s(6)−s(2)|=|0−32|=32
- De 6 a 8 s: |s(8)−s(6)|=|32−0|=32
Somando: 32+32+32=96.
Resposta
96 m