Uma partícula move-se segundo a lei do movimento s=t^3-12 t^2+36 t, t >= 0, em que t é medido em segundos e s, em metros.
Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos.

Passo 1

O enunciado diz que a partícula segue a lei do movimento s(t)=t³−12t²+36t para t≥0 e pede a distância total percorrida em t∈[0,8]. Vamos usar cinemática unidimensional: calcular a velocidade v(t), achar onde ela muda de sinal, e somar os deslocamentos em cada trecho.

Passo 2

Derivamos s(t) pela regra de potência para obter a velocidade:
v(t)=s'(t)=3t²−24t+36=3l(t²−8t+12r)=3(t−2)(t−6)²² Isso mostra que v(t)=0 em t=2 e t=6.

Passo 3

Para entender o sentido do movimento, analisamos o sinal de v(t) nos intervalos:
  • Em 0≤t<2, v>0 (movendo-se para frente).
  • Em 2<t<6, v<0 (movendo-se para trás).
  • Em t>6 até 8, v>0 (anda para frente de novo).

Passo 4

Calculamos a posição nos instantes críticos:
s(0)=0³−12·0²+36·0=0,³²
s(2)=2³−12·2²+36·2=8−48+72=32,³²
s(6)=6³−12·6²+36·6=216−432+216=0,³²
s(8)=8³−12·8²+36·8=512−768+288=32³²

Passo 5

Em cada trecho a distância é a variação absoluta de s(t):
  • De 0 a 2 s: |s(2)−s(0)|=|32−0|=32
  • De 2 a 6 s: |s(6)−s(2)|=|0−32|=32
  • De 6 a 8 s: |s(8)−s(6)|=|32−0|=32
    Somando: 32+32+32=96.

Resposta

96 m

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