Uma partícula se move sob a influência de uma força central expressa por F(r)=-\frac{k}{r^{n}}. Se a órbita da partícula é circular com raio a e passa através do centro de força demonstre que n=5.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m sujeita a uma força central
F(r)=-\frac{k}{r^n}
que se move num plano com momento angular por unidade de massa h. Queremos mostrar que, para que a órbita seja um círculo de raio a que passa pelo centro de força (isto é, pelo ponto r=0), é necessário que n=5. Para isso usaremos a fórmula de Binet que, em coordenadas polares e com u(\theta)=1/r(\theta), dá
\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=-\frac{F(1/u)}{m\,h^2\,u^2}\,.

Passo 2

Substituindo F(r)=-k/r^n em Binet temos
\frac{d^2u}{d\theta^2}+u =-\frac{-k\,(u)^n}{m\,h^2\,u^2} =\frac{k}{m\,h^2}\,u^{\,n-2}\equiv A\,u^{\,n-2},
com A=\tfrac{k}{m\,h^2}. Logo a equação de órbita é
\frac{d^2u}{d\theta^2}+u = A\,u^{\,n-2}.

Passo 3

A equação de um círculo de raio a que passa pela origem é, em coordenadas polares,
r(\theta)=2a\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad u(\theta)=\frac{1}{r}=\frac{1}{2a}\operatorname{sec}\theta.
Defina C=\tfrac1{2a}, ou seja u=C\operatorname{sec}\theta. Vamos calcular
\tfrac{d^2u}{d\theta^2}+u. Primeiro,
\frac{du}{d\theta} =C\frac{d}{d\theta}(\operatorname{sec}\theta) =C\operatorname{sec}\theta\tan\theta,
\frac{d^2u}{d\theta^2} =C\frac{d}{d\theta}(\operatorname{sec}\theta\tan\theta) =C\bigl(\operatorname{sec}\theta\tan^2\theta+\operatorname{sec}^3\theta\bigr).
Então
\frac{d^2u}{d\theta^2}+u =C\bigl(\operatorname{sec}\theta\tan^2\theta+\operatorname{sec}^3\theta\bigr)+C\operatorname{sec}\theta =2C\operatorname{sec}^3\theta.

Passo 4

Por outro lado, o lado direito da equação de órbita é
A\,u^{\,n-2} =A\,(C\operatorname{sec}\theta)^{\,n-2} =A\,C^{\,n-2}\,\operatorname{sec}^{\,n-2}\theta.
Como essas duas expressões devem coincidir para todo \theta, precisamos que os expoentes de \operatorname{sec}\theta sejam iguais:
n-2=3 \quad\Longrightarrow\quad n=5.

Resposta

n=5.

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