Uma partícula se move sob a influência de uma força central expressa por
. Se a órbita da partícula é circular com raio
e passa através do centro de força demonstre que
.
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula de massa
sujeita a uma força central
que se move num plano com momento angular por unidade de massa
. Queremos mostrar que, para que a órbita seja um círculo de raio
que passa pelo centro de força (isto é, pelo ponto
), é necessário que
. Para isso usaremos a fórmula de Binet que, em coordenadas polares e com
, dá
Passo 2
Substituindo
em Binet temos
com
. Logo a equação de órbita é
Passo 3
A equação de um círculo de raio
que passa pela origem é, em coordenadas polares,
Defina
, ou seja
. Vamos calcular
. Primeiro,
Então
Passo 4
Por outro lado, o lado direito da equação de órbita é
Como essas duas expressões devem coincidir para todo
, precisamos que os expoentes de
sejam iguais: