1^{\text {a }} - Um projétil move-se no plano x y em um campo gravitacional constante com hamiltoniana H=\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right) / 2 m+m g y. Provar que F=y-t p_{y} / m-g t^{2} / 2 e G=x-t p_{x} / m são constantes do movimento.

Passo 1

O enunciado descreve um projétil de massa m que se move no plano xy sob gravidade uniforme g. A Hamiltoniana é
H=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}+m\,g\,y.
Queremos mostrar que as funções
F=y-\frac{t\,p_y}{m}-\frac{g\,t^2}{2} \quad\text{e}\quad G=x-\frac{t\,p_x}{m}
são constantes de movimento. Para isso, vamos usar que, em Hamiltoniana, uma função K(q,p,t) é conservada se
\frac{dK}{dt} =\frac{\partial K}{\partial t}+\{K,H\} =0,
onde o colchete de Poisson é
\{K,H\} =\sum_{i=x,y}\Bigl(\frac{\partial K}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} -\frac{\partial K}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\Bigr).

Passo 2

Primeiro calculamos \dfrac{dF}{dt}. As derivadas parciais de F são
\frac{\partial F}{\partial t} =-\frac{p_y}{m}-g\,t, \quad \frac{\partial F}{\partial y}=1, \quad \frac{\partial F}{\partial p_y}=-\frac{t}{m},
enquanto da Hamiltoniana obtemos
\frac{\partial H}{\partial p_y}=\frac{p_y}{m}, \quad \frac{\partial H}{\partial y}=m\,g, \quad \frac{\partial H}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial H}{\partial p_x}=\frac{p_x}{m}.

Passo 3

Agora o colchete de Poisson \{F,H\} reduz-se às variáveis y,p_y:
\{F,H\} =\frac{\partial F}{\partial y}\,\frac{\partial H}{\partial p_y} -\frac{\partial F}{\partial p_y}\,\frac{\partial H}{\partial y} =1\cdot\frac{p_y}{m} -\Bigl(-\frac{t}{m}\Bigr)\cdot(m\,g) =\frac{p_y}{m}+g\,t.
Logo
\frac{dF}{dt} =\frac{\partial F}{\partial t}+\{F,H\} =\Bigl(-\frac{p_y}{m}-g\,t\Bigr) +\Bigl(\frac{p_y}{m}+g\,t\Bigr) =0.
Portanto F é constante de movimento.

Passo 4

Repetimos para G=x-\tfrac{t\,p_x}{m}. As derivadas são
\frac{\partial G}{\partial t}=-\frac{p_x}{m}, \quad \frac{\partial G}{\partial x}=1, \quad \frac{\partial G}{\partial p_x}=-\frac{t}{m},
e na Hamiltoniana \partial H/\partial p_x=p_x/m, \partial H/\partial x=0. Assim
\{G,H\} =\frac{\partial G}{\partial x}\,\frac{\partial H}{\partial p_x} =1\cdot\frac{p_x}{m} =\frac{p_x}{m},
e
\frac{dG}{dt} =\frac{\partial G}{\partial t}+\{G,H\} =\Bigl(-\frac{p_x}{m}\Bigr) +\frac{p_x}{m} =0.
Logo G também é constante de movimento.

Resposta

Mostramos que \tfrac{dF}{dt}=0 e \tfrac{dG}{dt}=0. Portanto
F=y-\frac{t\,p_y}{m}-\frac{g\,t^2}{2} \quad\text{e}\quad G=x-\frac{t\,p_x}{m}
são constantes do movimento.

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