- Um projétil move-se no plano
em um campo gravitacional constante com hamiltoniana
. Provar que
e
são constantes do movimento.
Passo 1
O enunciado descreve um projétil de massa
que se move no plano
sob gravidade uniforme
. A Hamiltoniana é
Queremos mostrar que as funções
são constantes de movimento. Para isso, vamos usar que, em Hamiltoniana, uma função
é conservada se
onde o colchete de Poisson é
Passo 2
Primeiro calculamos
. As derivadas parciais de
são
enquanto da Hamiltoniana obtemos
Passo 3
Agora o colchete de Poisson
reduz-se às variáveis
:
Logo
Portanto
é constante de movimento.
Passo 4
Repetimos para
. As derivadas são
e na Hamiltoniana
,
. Assim
e
Logo
também é constante de movimento.
Resposta
Mostramos que
e
. Portanto
são constantes do movimento.