Resolva o problema abaixo, que representa oscilações amortecidas em uma corda, levandose em conta a força de gravidade.
Sugestão: Encontre primeiro a função w(x, t)=w(x) dependendo só de x que satisfaz a equação diferencial e as condições de fronteira (isto é, w representa a posição de equilíbrio da corda presa pelas extremidades e sob a ação da gravidade). A seguir, pondo v(x, t)=u(x, t)-w(x, t), resolva o problema correspondente para v(x, t). Finalmente, obtenha u(x, t) como u=v+w.
Passo 1
O enunciado é a equação de ondas amortecida com termo constante
utt=uxx-2,ut+g, 0<x<pi, t>0,
com contorno
u(0,t)=u(pi,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=f(x)+g,x(pi-x)2, ut(x,0)=0
O conteúdo envolve encontrar primeiro o estado de equilíbrio w(x) (que anula o termo temporal e satisfaz o contorno), depois definir v(x,t)=u(x,t)-w(x) para obter um problema homogêneo amortecido, e finalmente resolver por separação de variáveis e expansão em senos.
Passo 2
Procuramos w(x) tal que wtt=0, wt=0 e
0=wxx+g,
com w(0)=w(pi)=0. Integrando duas vezes, vem
wxx=-g Longrightarrow w(x)=-g2,x^2+A,x+B
Como w(0)=0 dá B=0, e w(pi)=0 dá -tfracg2pi^2+A,pi=0Rightarrow A=tfracgpi2. Logo