Uma partícula se move de tal forma que a sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por
\vec{r}(t)=t \hat{\imath}+4 t^{2} \hat{\jmath}+t^{2} \hat{k}
Calcule:
c) A aceleração da partícula em t=1 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula
\vec{r}(t)=t\,\hat{\imath}+4t^{2}\,\hat{\jmath}+t^{2}\,\hat{k}
e pede a aceleração em t=1 s. O conteúdo aqui é derivada de vetor posição para obter velocidade e depois derivar de novo para obter aceleração.

Passo 2

Vamos achar primeiro a velocidade \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}. Derivando cada componente em relação a t temos
\vec{v}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t\,\hat{\imath}\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(4t^{2}\,\hat{\jmath}\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\,\hat{k}\bigr) =\hat{\imath}+8t\,\hat{\jmath}+2t\,\hat{k}.

Passo 3

Agora a aceleração é \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}. Derivando componente a componente:
\vec{a}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\hat{\imath}\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(8t\,\hat{\jmath}\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(2t\,\hat{k}\bigr) =0\,\hat{\imath}+8\,\hat{\jmath}+2\,\hat{k}.

Passo 4

Basta avaliar em t=1, mas como \vec{a}(t) é constante, temos
\vec{a}(1)=0\,\hat{\imath}+8\,\hat{\jmath}+2\,\hat{k}.

Resposta

\vec{a}(1)=0\,\hat{\imath}+8\,\hat{\jmath}+2\,\hat{k},m/ \text{s}^{2}.

Exercícios relacionados