Uma partícula se move de tal forma que a sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por
\vec{r}(t)=t \hat{\imath}+4 t^{2} \hat{\jmath}+t^{2} \hat{k}
Calcule:
b) A velocidade da partícula em t=2 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição da partícula em função do tempo como
\vec{r}(t)=t\,\hat{\imath}+4\,t^{2}\,\hat{\jmath}+t^{2}\,\hat{k}
e pede a velocidade em t=2\mathrm{~s}. O conteúdo aqui é derivada de função vetorial: velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Derivamos cada componente de \vec{r}(t) em relação a t. Assim,
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr)\,\hat{\imath} +\frac{d}{dt}\bigl(4t^{2}\bigr)\,\hat{\jmath} +\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)\,\hat{k}
e calculando cada derivada temos
\frac{d}{dt}(t)=1, \quad \frac{d}{dt}(4t^{2})=8t, \quad \frac{d}{dt}(t^{2})=2t.
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\vec{v}(t)=1\,\hat{\imath}+8t\,\hat{\jmath}+2t\,\hat{k}.

Passo 3

Agora avaliamos \vec{v}(t) em t=2\mathrm{~s}:
\vec{v}(2)=1\,\hat{\imath}+8\cdot2\,\hat{\jmath}+2\cdot2\,\hat{k} =\hat{\imath}+16\,\hat{\jmath}+4\,\hat{k}.

Resposta

\vec{v}(2)=\hat{\imath}+16\,\hat{\jmath}+4\,\hat{k} m/s

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