Questão 1) (a) Calcule a capacitância de um capacitor esférico, cujo raio da casca esférica interna é a e raio da casca esférica externa é b. Considere que a casca interna está carregada positivamente com carga Q. (b) Qual a expressão encontrada para a capacitância para uma aproximação que considera a distância entre as cascas esféricas muito pequena? (c) Calcule a energia potencial elétrica armazenada no capacitor, usando a capacitância encontrada como resposta da questão 8 e (d) integrando a densidade de energia do campo elétrico.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações foram dadas.
  • Dados fornecidos:
    • Raio da casca esférica interna: a.
    • Raio da casca esférica externa: b.
    • A casca interna tem carga positiva Q. A casca externa terá carga -Q (caso de capacitor isolado em equilíbrio), mas o enunciado só exige usar Q.
  • O que é pedido:
    (a) Calcular a capacitância do capacitor esférico com raios a (interna) e b (externa).
    (b) Obter a expressão da capacitância para a aproximação em que a distância entre as cascas é muito pequena (ou seja, b-a\ll a).
    (c) Calcular a energia potencial elétrica armazenada no capacitor usando a capacitância encontrada.
    (d) Calcular a energia potencial armazenada integrando a densidade de energia do campo elétrico e comparar (deve dar a mesma expressão).

Passo 2

Campo elétrico entre as cascas (uso da Lei de Gauss).
  • Conceito utile: a Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada vale a carga total enclausurada dividida por \varepsilon_0. Para uma superfície esférica centrada com a casca, o campo é radial e constante na superfície, então a conta fica simples.
  • Escolho uma superfície gaussiana esférica de raio r com a<r<b. A carga total dentro dessa superfície é Q. Aplicando Gauss:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}.
Como \mathbf{E} é radial e d\mathbf{A} também, \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,dA e a área da esfera é 4\pi r^{2}. Logo:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
Isolando E(r):
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}},\qquad \text{para } a<r<b.
  • Interpretação rápida: fora da casca interna o campo comporta-se como o de uma carga puntiforme Q localizada no centro; dentro da espessura do condutor (nas cascas condutoras idealizadas) o campo é zero.

Passo 3

Diferença de potencial entre as cascas (relação campo → potencial).
  • Conceito: a diferença de potencial elétrico entre dois pontos A e B é \,V(A)-V(B)=-\int_{B}^{A}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}\,. Para uma integração radial com E(r) radial, isso vira uma integral simples em r.
  • Queremos \,V(a)-V(b) (potencial interno menos potencial externo). Tomando o sinal apropriado e integrando de r=b para r=a:
V(a)-V(b)=-\int_{b}^{a} E(r)\,dr = \int_{a}^{b} E(r)\,dr
(uso a simetria e o fato de E ser radial positivo para obter a forma direta).
  • Substituindo E(r)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}:
V(a)-V(b)=\int_{a}^{b}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\,dr.
  • Calcule a integral (fazer passo a passo):
\int_{a}^{b}\frac{1}{r^{2}}\,dr = \left[-\frac{1}{r}\right]_{a}^{b} = -\frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{1}{a}-\frac{1}{b}.
Portanto:
V(a)-V(b)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).

Passo 4

Capacitância do capacitor esférico (resposta da parte a).
  • Definição: capacitância C é a razão entre a carga Q numa placa (aqui casca interna) e a diferença de potencial entre as placas: C=\dfrac{Q}{V(a)-V(b)}.
  • Substituindo a expressão de (V(a)-V(b)) obtida:
C=\frac{Q}{\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)}.
  • Simplificando (o Q cancela):
C=\frac{4\pi\varepsilon_0}{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}}.
  • Colocando numa forma mais intuitiva (fração única):
C=\frac{4\pi\varepsilon_0\,ab}{\,b-a\,}.
Essa é a capacitância exata do capacitor formado por duas cascas esféricas concêntricas de raios a e b.

Passo 5

Aproximação para cascas muito próximas (resposta da parte b).
  • Defina d=b-a como a separação entre as cascas, e suponha d\ll a.
  • Escreva b=a+d e substitua na expressão exata:
\frac{ab}{b-a}=\frac{a(a+d)}{d}=\frac{a^{2}}{d}+a.
  • Para d\ll a o termo \dfrac{a^{2}}{d} domina e o termo +a é desprezível em relação a ele. Portanto, a aproximação de primeira ordem é
C \approx 4\pi\varepsilon_0\frac{a^{2}}{d},\qquad (d=b-a\ll a).
  • Intuição física: a superfície interna tem área A=4\pi a^{2}. A fórmula lembra a do capacitor de placas paralelas C\approx\varepsilon_0 A/d. Para cascas esféricas muito próximas a região entre elas é quase plana localmente, daí a mesma forma.

Passo 6

Energia armazenada usando a capacitância (resposta da parte c).
  • Fórmulas úteis: energia armazenada num capacitor pode ser escrita de várias formas equivalentes:
U=\frac{1}{2}C V^{2}=\frac{Q^{2}}{2C}=\frac{1}{2}Q V.
  • Usando \,U=\dfrac{Q^{2}}{2C}\, e a capacitância exata \,C=\dfrac{4\pi\varepsilon_0 ab}{b-a}\,, substitui-se:
U=\frac{Q^{2}}{2}\cdot\frac{b-a}{4\pi\varepsilon_0 ab}.
  • Simplificando:
U=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
Essa é a energia armazenada expressa em termos de Q,a,b,\varepsilon_0.

Passo 7

Energia calculada integrando a densidade de energia do campo (resposta da parte d).
  • Conceito: densidade de energia do campo elétrico é u(\mathbf{r})=\dfrac{\varepsilon_0}{2}E^{2}(\mathbf{r}). A energia total no volume entre as cascas é
U=\int_{\text{volume}} u(\mathbf{r})\,dV = \int_{a}^{b}\frac{\varepsilon_0}{2}E^{2}(r)\,4\pi r^{2}\,dr.
  • Substitua E(r)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}} (obtido no Passo 2). Primeiro calcule E^{2}(r):
E^{2}(r)=\frac{Q^{2}}{16\pi^{2}\varepsilon_0^{2} r^{4}}.
  • Então a integranda fica:
\frac{\varepsilon_0}{2}E^{2}(r)\,4\pi r^{2} = \frac{\varepsilon_0}{2}\cdot\frac{Q^{2}}{16\pi^{2}\varepsilon_0^{2} r^{4}}\cdot 4\pi r^{2}.
  • Simplificando constantes e potências:
\frac{\varepsilon_0}{2}\cdot\frac{Q^{2}}{16\pi^{2}\varepsilon_0^{2}}\cdot 4\pi = \frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_0},
e o fator em r é \dfrac{r^{2}}{r^{4}}=\dfrac{1}{r^{2}}. Então
U=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_0}\int_{a}^{b}\frac{1}{r^{2}}\,dr.
  • Calcule a integral (já vista antes):
\int_{a}^{b}\frac{1}{r^{2}}\,dr=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}.
Logo:
U=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
  • Conclusão: o resultado obtido pela integração da densidade de energia coincide com o obtido em termos de C (consistência verificada).

Resposta

C=\dfrac{4\pi\varepsilon_0\,ab}{\,b-a\,}.
C\approx 4\pi\varepsilon_0\,\dfrac{a^{2}}{d}\quad\text{com }d=b-a\ll a.
U=\dfrac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right).
U=\dfrac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right).

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