Questão 1) (a) Calcule a capacitância de um capacitor esférico, cujo raio da casca esférica interna é
e raio da casca esférica externa é
. Considere que a casca interna está carregada positivamente com carga
. (b) Qual a expressão encontrada para a capacitância para uma aproximação que considera a distância entre as cascas esféricas muito pequena? (c) Calcule a energia potencial elétrica armazenada no capacitor, usando a capacitância encontrada como resposta da questão 8 e (d) integrando a densidade de energia do campo elétrico.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações foram dadas.
- Dados fornecidos:
- Raio da casca esférica interna:
. - Raio da casca esférica externa:
. - A casca interna tem carga positiva
. A casca externa terá carga (caso de capacitor isolado em equilíbrio), mas o enunciado só exige usar .
- Raio da casca esférica interna:
- O que é pedido:
(a) Calcular a capacitância do capacitor esférico com raios(interna) e (externa).
(b) Obter a expressão da capacitância para a aproximação em que a distância entre as cascas é muito pequena (ou seja,).
(c) Calcular a energia potencial elétrica armazenada no capacitor usando a capacitância encontrada.
(d) Calcular a energia potencial armazenada integrando a densidade de energia do campo elétrico e comparar (deve dar a mesma expressão).
Passo 2
Campo elétrico entre as cascas (uso da Lei de Gauss).
- Conceito utile: a Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada vale a carga total enclausurada dividida por
. Para uma superfície esférica centrada com a casca, o campo é radial e constante na superfície, então a conta fica simples. - Escolho uma superfície gaussiana esférica de raio
com . A carga total dentro dessa superfície é . Aplicando Gauss:
Como
é radial e
também,
e a área da esfera é
. Logo:
Isolando
:
- Interpretação rápida: fora da casca interna o campo comporta-se como o de uma carga puntiforme
localizada no centro; dentro da espessura do condutor (nas cascas condutoras idealizadas) o campo é zero.
Passo 3
Diferença de potencial entre as cascas (relação campo → potencial).
- Conceito: a diferença de potencial elétrico entre dois pontos
e é . Para uma integração radial com radial, isso vira uma integral simples em . - Queremos
(potencial interno menos potencial externo). Tomando o sinal apropriado e integrando de para :
(uso a simetria e o fato de
ser radial positivo para obter a forma direta).
- Substituindo
:
- Calcule a integral (fazer passo a passo):
Portanto:
Passo 4
Capacitância do capacitor esférico (resposta da parte a).
- Definição: capacitância
é a razão entre a carga numa placa (aqui casca interna) e a diferença de potencial entre as placas: . - Substituindo a expressão de
obtida:
- Simplificando (o
cancela):
- Colocando numa forma mais intuitiva (fração única):
Essa é a capacitância exata do capacitor formado por duas cascas esféricas concêntricas de raios
e
.
Passo 5
Aproximação para cascas muito próximas (resposta da parte b).
- Defina
como a separação entre as cascas, e suponha . - Escreva
e substitua na expressão exata:
- Para
o termo domina e o termo é desprezível em relação a ele. Portanto, a aproximação de primeira ordem é
- Intuição física: a superfície interna tem área
. A fórmula lembra a do capacitor de placas paralelas . Para cascas esféricas muito próximas a região entre elas é quase plana localmente, daí a mesma forma.
Passo 6
Energia armazenada usando a capacitância (resposta da parte c).
- Fórmulas úteis: energia armazenada num capacitor pode ser escrita de várias formas equivalentes:
- Usando
e a capacitância exata , substitui-se:
- Simplificando:
Essa é a energia armazenada expressa em termos de
.
Passo 7
Energia calculada integrando a densidade de energia do campo (resposta da parte d).
- Conceito: densidade de energia do campo elétrico é
. A energia total no volume entre as cascas é
- Substitua
(obtido no Passo 2). Primeiro calcule :
- Então a integranda fica:
- Simplificando constantes e potências:
e o fator em
é
. Então
- Calcule a integral (já vista antes):
Logo:
- Conclusão: o resultado obtido pela integração da densidade de energia coincide com o obtido em termos de
(consistência verificada).