Um pilar de concreto armado de 3 m de comprimento e seção transversal quadrada de 15 cm e área de aço de
, distribuído de forma simétrica, esta submetido a uma carga de compressão no seu centro de gravidade de 360 kN .
Se considerarmos o módulo de elasticidade do concreto igual a 20 GPa e o modulo de elasticidade do aço igual a 200 GPa , e desconsiderarmos os efeitos de excentricidade e escorregamento da interface entre o concreto e o aço, as tensões normais no aço e no concreto serão, respectivamente, de:
[A] -100 MPa e -10 MPa;
(B) -16 MPa e -16 MPa;
(C) -10 MPa e-100 MPa;
(D) 10 MPa e 100 MPa
(E) 100 MPa e 10 MPa
Se considerarmos o módulo de elasticidade do concreto igual a 20 GPa e o modulo de elasticidade do aço igual a 200 GPa , e desconsiderarmos os efeitos de excentricidade e escorregamento da interface entre o concreto e o aço, as tensões normais no aço e no concreto serão, respectivamente, de:
[A] -100 MPa e -10 MPa;
(B) -16 MPa e -16 MPa;
(C) -10 MPa e-100 MPa;
(D) 10 MPa e 100 MPa
(E) 100 MPa e 10 MPa
Passo 1
Primeiro vamos entender exatamente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
O que é pedido:
- As tensões normais no aço e no concreto, respectivamente (isto é,
e ), assumindo ligação perfeita e carga axial centrada.
Passo 2
Modelo físico e ideias principais (aula rápida):
- Com ligação perfeita e carga axial centrada, concreto e aço têm a mesma deformação axial (mesma elongação relativa) no mesmo corte:
. Isso chama-se compatibilidade de deformações. - Lei de Hooke linear relaciona tensão e deformação em cada material:
. Aqui e . - Equilíbrio de forças internas na seção: a soma das forças internas (tensões vezes áreas) deve equilibrar a carga externa. Adotamos sinal negativo para compressão. Assim:
Essas três ideias (compatibilidade, Hooke, equilíbrio) são suficientes para resolver.
Passo 3
Calcular as áreas numéricas e definir variáveis:
- Área total da seção quadrada (lado
):
- Área do aço dada:
. - Então a área do concreto (parte do furo) é:
Definimos também as incógnitas:
(tensão média no concreto) e
(tensão média no aço).
Passo 4
Relacionar
e
usando módulos de elasticidade e compatibilidade:
- Pela compatibilidade e Hooke:
- Portanto a razão entre as tensões é igual à razão entre os módulos:
- Substituindo
e :
logo
Passo 5
Usar o equilíbrio de forças para achar
:
- Equilíbrio:
- Substituindo
:
- Isolando
:
Passo 6
Calcular numericamente
e
(atenção às unidades):
- Primeiro calcule o denominador em
:
- A carga
. - Para converter para
usando áreas em : uma relação útil é
- Então
- E
Passo 7
Interpretação final e cheiro de prova:
- Os sinais negativos indicam compressão (coerente com a carga compressiva).
- O aço fica com tensão dez vezes maior que o concreto porque seu módulo é 10 vezes maior, mas a área do aço é menor; o equilíbrio fez com que a tensão do aço seja maior em magnitude.
- Esses valores são exatos com as hipóteses dadas (seção centrada, ligação perfeita, comportamento linear elástico).
Resposta
[A]
e