Um pilar de concreto armado de 3 m de comprimento e seção transversal quadrada de 15 cm e área de aço de 15 \mathrm{~cm}^{2}, distribuído de forma simétrica, esta submetido a uma carga de compressão no seu centro de gravidade de 360 kN .
Se considerarmos o módulo de elasticidade do concreto igual a 20 GPa e o modulo de elasticidade do aço igual a 200 GPa , e desconsiderarmos os efeitos de excentricidade e escorregamento da interface entre o concreto e o aço, as tensões normais no aço e no concreto serão, respectivamente, de:
[A] -100 MPa e -10 MPa;
(B) -16 MPa e -16 MPa;
(C) -10 MPa e-100 MPa;
(D) 10 MPa e 100 MPa
(E) 100 MPa e 10 MPa

Passo 1

Primeiro vamos entender exatamente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Comprimento do pilar: }3\\ \text{m (irrelevante para tensão axial uniforme)}\\\ &\text{Seção transversal: quadrado de }15\\ \mathrm{cm}\\ \text{(lado)}\\\ &\text{Área de aço: }A_s=15\\ \mathrm{cm}^2\\ (\text{distribuída simetricamente})\\\ &\text{Carga de compressão aplicada no CG: }P=360\\ \text{kN}\\\ &\text{Módulo de elasticidade do concreto: }E_c=20\\ \text{GPa}\\\ &\text{Módulo de elasticidade do aço: }E_s=200\\ \text{GPa}\\\ &\text{Desprezamos excentricidade e escorregamento (liga perfeita).} \end{aligned}ãçãÁçíãóóç
O que é pedido:
  • As tensões normais no aço e no concreto, respectivamente (isto é, \sigma_s e \sigma_c), assumindo ligação perfeita e carga axial centrada.

Passo 2

Modelo físico e ideias principais (aula rápida):
  • Com ligação perfeita e carga axial centrada, concreto e aço têm a mesma deformação axial (mesma elongação relativa) no mesmo corte: \varepsilon_c=\varepsilon_s=\varepsilon. Isso chama-se compatibilidade de deformações.
  • Lei de Hooke linear relaciona tensão e deformação em cada material: \sigma=E\varepsilon. Aqui \sigma_c=E_c\varepsilon e \sigma_s=E_s\varepsilon.
  • Equilíbrio de forças internas na seção: a soma das forças internas (tensões vezes áreas) deve equilibrar a carga externa. Adotamos sinal negativo para compressão. Assim:
\sigma_c A_c+\sigma_s A_s = -P.
Essas três ideias (compatibilidade, Hooke, equilíbrio) são suficientes para resolver.

Passo 3

Calcular as áreas numéricas e definir variáveis:
  • Área total da seção quadrada (lado 15\\ \mathrm{cm}):
A_{\text{total}} = 15\\ \mathrm{cm}\times 15\\ \mathrm{cm}=225\\ \mathrm{cm}^2.
  • Área do aço dada: A_s=15\\ \mathrm{cm}^2.
  • Então a área do concreto (parte do furo) é:
A_c = A_{\text{total}} - A_s = 225 - 15 = 210\\ \mathrm{cm}^2.
Definimos também as incógnitas: \sigma_c (tensão média no concreto) e \sigma_s (tensão média no aço).

Passo 4

Relacionar \sigma_s e \sigma_c usando módulos de elasticidade e compatibilidade:
  • Pela compatibilidade e Hooke:
\sigma_c = E_c\varepsilon,\qquad \sigma_s = E_s\varepsilon.
  • Portanto a razão entre as tensões é igual à razão entre os módulos:
\frac{\sigma_s}{\sigma_c}=\frac{E_s}{E_c}.
  • Substituindo E_s=200\\ \text{GPa} e E_c=20\\ \text{GPa}:
\frac{\sigma_s}{\sigma_c}=\frac{200}{20}=10,
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\sigma_s = 10\,\sigma_c.

Passo 5

Usar o equilíbrio de forças para achar \sigma_c:
  • Equilíbrio:
\sigma_c A_c + \sigma_s A_s = -P.
  • Substituindo \sigma_s=10\,\sigma_c:
\sigma_c(A_c + 10\,A_s) = -P.
  • Isolando \sigma_c:
\sigma_c = -\dfrac{P}{A_c + 10\,A_s}.

Passo 6

Calcular numericamente \sigma_c e \sigma_s (atenção às unidades):
  • Primeiro calcule o denominador em \mathrm{cm}^2:
A_c + 10\,A_s = 210 + 10\cdot 15 = 210 + 150 = 360\\ \mathrm{cm}^2.
  • A carga P=360\\ \text{kN}=360{,}000\\ \text{N}.
  • Para converter para \text{MPa} usando áreas em \mathrm{cm}^2: uma relação útil é
\sigma(\text{MPa})=\frac{N}{100\cdot A(\mathrm{cm}^2)}.
  • Então
\sigma_c = -\frac{360{,}000}{100\cdot 360} = -\frac{360{,}000}{36{,}000} = -10\\ \text{MPa}.
  • E \sigma_s = 10\,\sigma_c = 10\cdot(-10\ \text{MPa}) = -100\ \text{MPa}.

Passo 7

Interpretação final e cheiro de prova:
  • Os sinais negativos indicam compressão (coerente com a carga compressiva).
  • O aço fica com tensão dez vezes maior que o concreto porque seu módulo é 10 vezes maior, mas a área do aço é menor; o equilíbrio fez com que a tensão do aço seja maior em magnitude.
  • Esses valores são exatos com as hipóteses dadas (seção centrada, ligação perfeita, comportamento linear elástico).

Resposta

[A] -100\\ \text{MPa} e -10\\ \text{MPa}

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