5- Uma partícula move-se em trajetória circular de raio
, em movimento uniformemente acelerado, de aceleração escalar
. Sabendo que no instante
a velocidade escalar da partícula é de
, calcule no instante
os módulos:
a) da aceleração tangencial;
b) da aceleração normal(centrípeta);
c) da aceleração (vetorial resultante).
a) da aceleração tangencial;
b) da aceleração normal(centrípeta);
c) da aceleração (vetorial resultante).
Passo 1
O enunciado pede que, para uma partícula em movimento circular com raio
e aceleração escalar (tangencial) constante igual a
, e velocidade inicial em
igual a
, calcule no instante
os módulos de:
a) aceleração tangencial;
b) aceleração normal (centrípeta);
c) aceleração resultante (vetorial).
a) aceleração tangencial;
b) aceleração normal (centrípeta);
c) aceleração resultante (vetorial).
Informações dadas (extraídas do enunciado; observei a imagem mas todos os valores já estavam no enunciado):
-
- aceleração escalar/tangencial constante
- velocidade inicial
- instante onde queremos os resultados:
Passo 2
Conceitos e fórmulas úteis (explicação didática):
- Em movimento circular com aceleração tangencial não nula, existem duas componentes da aceleração: tangencial
(mudança do módulo da velocidade) e normal/centrípeta (mudança da direção da velocidade). Essas componentes são perpendiculares entre si. - A componente tangencial
é dada (aqui é constante) e seu módulo indica a taxa de variação do módulo da velocidade. A relação entre velocidade e aceleração tangencial, para aceleração constante, é a lei do movimento uniformemente acelerado na direção tangencial:
onde
é a velocidade escalar no tempo
,
é a velocidade inicial e
é a aceleração tangencial (todas as quantidades no mesmo sistema de unidades).
- A aceleração normal (centrípeta) tem módulo dado por
onde
é o módulo da velocidade no instante considerado e
é o raio da trajetória. Essa aceleração aponta para o centro da curva.
- Como
e são ortogonais, o módulo da aceleração resultante é a soma vetorial em magnitude:
Passo 3
Calcular a velocidade no instante
usando a fórmula do movimento com aceleração tangencial constante:
Substituindo
,
e
:
Fazendo as contas passo a passo:
portanto
Passo 4
(a) Módulo da aceleração tangencial no instante
.
Como é constante e foi dado no enunciado, o módulo é simplesmente
Como
(Isto é direto: a aceleração tangencial não depende do tempo neste problema.)
Passo 5
(b) Módulo da aceleração normal (centrípeta) no instante
.
Usamos a fórmula com
(do Passo 3) e
:
Usamos a fórmula
Calcule passo a passo:
Passo 6
(c) Módulo da aceleração resultante (vetorial) no instante
.
Como e
são perpendiculares, usamos
Como
Substituindo
e
:
Podemos deixar em forma exata:
ou em valor aproximado (duas casas decimais):
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)