5- Uma partícula move-se em trajetória circular de raio R=24 \mathrm{~m}, em movimento uniformemente acelerado, de aceleração escalar 3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Sabendo que no instante t=0 a velocidade escalar da partícula é de 6,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule no instante t=2,0 \mathrm{~s} os módulos:
a) da aceleração tangencial;
b) da aceleração normal(centrípeta);
c) da aceleração (vetorial resultante).

Passo 1

O enunciado pede que, para uma partícula em movimento circular com raio R=24\\ \mathrm{m} e aceleração escalar (tangencial) constante igual a 3,0\\ \mathrm{m/s^{2}}, e velocidade inicial em t=0 igual a 6,0\\ \mathrm{m/s}, calcule no instante t=2,0\\ \mathrm{s} os módulos de:
a) aceleração tangencial;
b) aceleração normal (centrípeta);
c) aceleração resultante (vetorial).
Informações dadas (extraídas do enunciado; observei a imagem mas todos os valores já estavam no enunciado):
  • R=24\\ \mathrm{m}
  • aceleração escalar/tangencial constante a_{t}=3,0\\ \mathrm{m/s^{2}}
  • velocidade inicial v(0)=v_{0}=6,0\\ \mathrm{m/s}
  • instante onde queremos os resultados: t=2,0\\ \mathrm{s}

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (explicação didática):
  • Em movimento circular com aceleração tangencial não nula, existem duas componentes da aceleração: tangencial a_{t} (mudança do módulo da velocidade) e normal/centrípeta a_{n} (mudança da direção da velocidade). Essas componentes são perpendiculares entre si.
  • A componente tangencial a_{t} é dada (aqui é constante) e seu módulo indica a taxa de variação do módulo da velocidade. A relação entre velocidade e aceleração tangencial, para aceleração constante, é a lei do movimento uniformemente acelerado na direção tangencial:
v(t)=v_{0}+a_{t}\,t,
onde v(t) é a velocidade escalar no tempo t, v_{0} é a velocidade inicial e a_{t} é a aceleração tangencial (todas as quantidades no mesmo sistema de unidades).
  • A aceleração normal (centrípeta) tem módulo dado por
a_{n}=\frac{v^{2}}{R},
onde v é o módulo da velocidade no instante considerado e R é o raio da trajetória. Essa aceleração aponta para o centro da curva.
  • Como a_{t} e a_{n} são ortogonais, o módulo da aceleração resultante é a soma vetorial em magnitude:
a=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{n}^{2}}.

Passo 3

Calcular a velocidade no instante t=2,0\\ \mathrm{s} usando a fórmula do movimento com aceleração tangencial constante:
v(t)=v_{0}+a_{t}\,t.
Substituindo v_{0}=6,0\\ \mathrm{m/s}, a_{t}=3,0\\ \mathrm{m/s^{2}} e t=2,0\\ \mathrm{s}:
v(2,0)=6,0+3,0\cdot 2,0.
Fazendo as contas passo a passo:
3,0\cdot 2,0=6,0,
portanto
v(2,0)=6,0+6,0=12,0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

(a) Módulo da aceleração tangencial no instante t=2,0\\ \mathrm{s}.
Como a_{t} é constante e foi dado no enunciado, o módulo é simplesmente
a_{t}=3,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(Isto é direto: a aceleração tangencial não depende do tempo neste problema.)

Passo 5

(b) Módulo da aceleração normal (centrípeta) no instante t=2,0\\ \mathrm{s}.
Usamos a fórmula \;a_{n}=v^{2}/R\; com v(2,0)=12,0\\ \mathrm{m/s} (do Passo 3) e R=24\\ \mathrm{m}:
a_{n}=\frac{(12,0)^{2}}{24}.
Calcule passo a passo:
(12,0)^{2}=144,0,
a_{n}=\frac{144,0}{24}=6,0\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

(c) Módulo da aceleração resultante (vetorial) no instante t=2,0\\ \mathrm{s}.
Como a_{t} e a_{n} são perpendiculares, usamos
a=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{n}^{2}}.
Substituindo a_{t}=3,0\\ \mathrm{m/s^{2}} e a_{n}=6,0\\ \mathrm{m/s^{2}}:
a=\sqrt{(3,0)^{2}+(6,0)^{2}}=\sqrt{9,0+36,0}=\sqrt{45,0}.
Podemos deixar em forma exata:
a=3\sqrt{5}\\ \mathrm{m/s^{2}},
ou em valor aproximado (duas casas decimais):
a\approx 6,71\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

a) 3,0\\ \mathrm{m/s^{2}}
b) 6,0\\ \mathrm{m/s^{2}}
c) 3\sqrt{5}\\ \mathrm{m/s^{2}} \approx 6,71\\ \mathrm{m/s^{2}}

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