Uma partícula move-se em trajetória dada por
r(t)=e^-b t[cos (omega t) x+sen(omega t) y]. Calcule:
(a) A velocidade escalar da partícula em função do tempo.
(b) O ângulo entre o vetor velocidade e o vetor posição em função do tempo.

Passo 1

Beleza, o exercício dá a posição
vec r(t)=e^-b tl[cos(omega t),hat x+sin(omega t),hat yr]
e pede dois bagulhos de cinemática vetorial:
(a) a velocidade escalar, ou seja, o módulo de ;
(b) o ângulo entre e .
Para isso vamos usar:
  1. regra do produto para derivar cada componente de ;
  2. definição de norma de vetor ;
  3. produto escalar .

Passo 2

Primeiro achamos o vetor velocidade:
vec v(t)=dotvec r(t) =ddtl[e^-b tcos(omega t)r]hat x +ddtl[e^-b tsin(omega t)r]hat y
Usando produto ddt(e^-btcosomega t) =e^-btl(-bcosomega tr)+e^-btl(-omegasinomega tr) =e^-btl[-bcosomega t-omegasinomega tr], :
ddt(e^-btsinomega t) =e^-bt(-bsinomega t)+e^-bt(omegacosomega t) =e^-btl[-bsinomega t+omegacosomega tr]
vec v(t) =e^-btl[-l(bcosomega t+omegasinomega tr)hat x +l(-bsinomega t+omegacosomega tr)hat yr]
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Passo 3

Agora a velocidade escalar é
v(t)=|vec v(t)| =e^-btraizl(-bcosomega t-omegasinomega tr)^2 +l(-bsinomega t+omegacosomega tr)^2
Dentro da raiz, ao expandir e somar termos, os cruzados se cancelam e sobra
b^2(cos^2+sin^2)+omega^2(sin^2+cos^2)=b^2+omega^2
Fica então
boxedv(t)=e^-bt,raizb^2+omega^2

Passo 4

Pra achar o ângulo cosphi =vec vcdotvec r|vec v|;|vec r| entre vec vcdotvec r =e^-2btl[-b(cos^2+sin^2)+omega(underbrace-cossin+sincos0)r] =-b,e^-2bt e cosphi =-b,e^-2bte^-btcdot e^-btraizb^2+omega^2 =-braizb^2+omega^2 usamos
  1. Produto escalar:
  1. Normas:
    ,
    .
    Então
Isso dá um ângulo constante no tempo, já que não apareceu .

Resposta

(a)
(b) .

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