Uma partícula move-se em trajetória elíptica dada por
r(t)=2 b cos (omega t) x+4 b sen(omega t) y. Calcule:
(a) A velocidade escalar da partícula em função do tempo.
(b) O ângulo entre o vetor velocidade e o vetor posição em função do tempo.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que uma partícula descreve uma elipse com
vec r(t)=2bcos(omega t),hat x+4bsin(omega t),hat y
Precisamos de:
  • Teoria de derivada de vetor para achar a velocidade .
  • Norma de vetor para obter a velocidade escalar .
  • Produto escalar e definição de ângulo para calcular entre e .

Passo 2

Vamos achar a velocidade vetorial:
vec v(t)=ddtl[2bcos(omega t)hat x+4bsin(omega t)hat yr]
Derivando cada componente (lembra que vec v(t)=-2b,omegasin(omega t),hat x;+;4b,omegacos(omega t),hat y e ):

Passo 3

Agora a velocidade escalar é a norma de v(t)=l|vec v(t)r| =raizl(-2bomegasin(omega t)r)^2+l(4bomegacos(omega t)r)^2 :
v(t) =bomegaraiz4sin^2(omega t)+16cos^2(omega t) =2bomegaraiz1+3cos^2(omega t)

Passo 4

Para o ângulo costheta =vec rcdotvec v|vec r|,|vec v| entre vec rcdotvec v =(2bcos)(-2bomegasin)+(4bsin)(4bomegacos) =12,b^2omegasin(omega t)cos(omega t) e |vec r|=braiz4cos^2+16sin^2=2braizcos^2+4sin^2 , |vec v|=2bomegaraiz1+3cos^2 , usamos
costheta(t) =12b^2omegasincos (2braizcos^2+4sin^2)(2bomegaraiz1+3cos^2) =3sin(omega t)cos(omega t) raiz(cos^2+4sin^2)l(1+3cos^2r)
Primeiro o produto escalar:
E as normas já temos parte:
Então
E finalmente disso.

Resposta

(a) .
(b) .

Exercícios relacionados