Uma partícula move-se em trajetória elíptica dada por
r(t)=b t[cos (omega t) x+sen(omega t) y]. Calcule:
(a) A aceleração escalar da partícula em função do tempo.
(b) O ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração para t=pi / 2 omega.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula que segue uma trajetória elíptica, descrita pela função posição:
r(t) = b t [cos(omega t) x + sin(omega t) y]
Vamos precisar usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração da partícula. Também vamos aplicar a fórmula para o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar r(t) em relação a t:
v(t) = dr(t)dt = ddt[ b t cos(omega t) x + b t sin(omega t) y ]
Para derivar essa expressão, usamos a regra do produto, já que temos t multiplicado por uma função trigonométrica.

Passo 3

Vamos derivar cada componente:
Para a componente x:
ddt [b t cos(omega t)] = b cos(omega t) + b t (-omega sin(omega t)) = b cos(omega t) - b omega t sin(omega t)
Para a componente y:
ddt [b t sin(omega t)] = b sin(omega t) + b t omega cos(omega t) = b sin(omega t) + b omega t cos(omega t)
Então, a velocidade fica:
v(t) = [ b cos(omega t) - b omega t sin(omega t) ] x + [ b sin(omega t) + b omega t cos(omega t) ] y

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt
Vamos derivar cada componente da velocidade.

Passo 5

Derivando a componente x da velocidade:
ddt [b cos(omega t) - b omega t sin(omega t)] = -b omega sin(omega t) - b omega sin(omega t) - b omega^2 t cos(omega t) = -2 b omega sin(omega t) - b omega^2 t cos(omega t)
Derivando a componente y da velocidade:
ddt [b sin(omega t) + b omega t cos(omega t)] = b omega cos(omega t) + b omega cos(omega t) - b omega^2 t sin(omega t) = 2 b omega cos(omega t) - b omega^2 t sin(omega t)
Então, a aceleração fica:
a(t) = [ -2 b omega sin(omega t) - b omega^2 t cos(omega t) ] x + [ 2 b omega cos(omega t) - b omega^2 t sin(omega t) ] y

Passo 6

Agora que temos a aceleração vetorial, vamos encontrar a aceleração escalar, ou seja, a magnitude da aceleração:
a(t) = |a(t)| = raiz ( -2 b omega sin(omega t) - b omega^2 t cos(omega t) )^2 + ( 2 b omega cos(omega t) - b omega^2 t sin(omega t) )^2
Vamos simplificar isso:
Primeiro, fatoramos b:
a(t) = b raiz ( -2 omega sin(omega t) - omega^2 t cos(omega t) )^2 + ( 2 omega cos(omega t) - omega^2 t sin(omega t) )^2
Expandindo os termos:
a(t) = b raiz4 omega^2 sin^2(omega t) + 4 omega^2 cos^2(omega t) + omega^4 t^2 cos^2(omega t) + omega^4 t^2 sin^2(omega t) + termos cruzados
Observando que $ \sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t) = 1 $, simplificamos:
sin^2(omega t) + cos^2(omega t) = 1
Fatorando a(t) = b raiz4 omega^2 + omega^4 t^2 :
omega^2

Passo 7

Pronto! Agora já temos a aceleração escalar em função do tempo:
a(t) = b omega raiz4 + omega^2 t^2

Resposta

A aceleração escalar da partícula em função do tempo é:
a(t) = b omega raiz4 + omega^2 t^2

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