Uma partícula move-se em trajetória elíptica dada por
. Calcule:
(a) A aceleração escalar da partícula em função do tempo.
(b) O ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração para
.
(b) O ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula que segue uma trajetória elíptica, descrita pela função posição:
Vamos precisar usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração da partícula. Também vamos aplicar a fórmula para o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar
em relação a
:
Para derivar essa expressão, usamos a regra do produto, já que temos
multiplicado por uma função trigonométrica.
Passo 3
Vamos derivar cada componente:
Para a componente
:
Para a componente
:
Então, a velocidade fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente da velocidade.
Passo 5
Derivando a componente
da velocidade:
Derivando a componente
da velocidade:
Então, a aceleração fica:
Passo 6
Agora que temos a aceleração vetorial, vamos encontrar a aceleração escalar, ou seja, a magnitude da aceleração:
Vamos simplificar isso:
Primeiro, fatoramos
:
Expandindo os termos:
Observando que $ \sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t) = 1 $, simplificamos:
Fatorando
:
Passo 7
Pronto! Agora já temos a aceleração escalar em função do tempo:
Resposta
A aceleração escalar da partícula em função do tempo é: