Uma partícula movimenta-se no plano O x y em uma trajetória definida pela equação y=x^2,com dotx(t)=b (sendo b uma constante) e x(0)=0. Calcule:
(a) O vetor posição da partícula em função do tempo r(t).
(b) O ângulo entre r(t=1) e v(t=1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula no plano $ Oxy $ seguindo a trajetória $ y = x^2 $. A gente sabe que a derivada de $ x $ em relação ao tempo, $ \dot{x}(t) $, é uma constante $ b $, e que no tempo inicial $ t = 0 $, $ x(0) = 0 $. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas e integração, para encontrar a posição da partícula e o ângulo entre o vetor posição e o vetor velocidade no tempo $ t = 1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar $ x(t) $. Sabemos que $ \dot{x}(t) = b $, que é a derivada de $ x $ em relação ao tempo. Para achar $ x(t) $, vamos integrar $ \dot{x}(t) $:
x(t)
Aqui, $ C $ é a constante de integração. Usando a condição inicial $ x(0) = 0 $:
dotx(t) = b
Então,
x

Passo 3

Agora, vamos encontrar $ y(t) $. Sabemos que $ y = x^2 $, então substituindo $ x(t) $:
y(t)

Passo 4

Com $ x(t) $ e $ y(t) $ conhecidos, podemos escrever o vetor posição $ \vec{r}(t) $:
x(t)

Passo 5

Agora, para encontrar o vetor velocidade $ \vec{v}(t) $, vamos derivar $ \vec{r}(t) $ em relação ao tempo:
v(t)
Já sabemos que $ \frac{dx(t)}{dt} = b $. Para $ \frac{dy(t)}{dt} $:
r(t)
Então,
v(t) = dr(t)dt = lang<= dx(t)dt, dy(t)dt rang<=

Passo 6

Vamos agora calcular o ângulo entre $ \vec{r}(t=1) $ e $ \vec{v}(t=1) $. Primeiro, vamos encontrar esses vetores no tempo $ t = 1 $:
r(t=1)
v(t=1)

Passo 7

O ângulo $ \theta $ entre dois vetores $ \vec{a} $ e $ \vec{c} $ é dado pela fórmula do produto escalar:
theta
Aplicando isso para $ \vec{r}(1) $ e $ \vec{v}(1) $:
Primeiro, calculamos o produto escalar:
a
Agora, os módulos dos vetores:
c
cos(theta) = a cdot c|a| cdot |c|
Então,
r(1)
Simplificando:
v(1)
Para encontrar $ \theta $, tiramos o arco cosseno:
r(1) cdot v(1) = b cdot b + b^2 cdot 2b^2 = b^2 + 2b^4

Resposta

(a) O vetor posição da partícula em função do tempo é:
r(t) = lang<= bt, b^2 t^2 rang<=
(b) O ângulo entre $ \vec{r}(1) $ e $ \vec{v}(1) $ é:
r(1)

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