Uma partícula movimenta-se no plano
em uma trajetória definida pela equação
(sendo
uma constante) e
. Calcule:
(a) O vetor posição da partícula em função do tempo
.
(b) O ângulo entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula no plano $ Oxy $ seguindo a trajetória $ y = x^2 $. A gente sabe que a derivada de $ x $ em relação ao tempo, $ \dot{x}(t) $, é uma constante $ b $, e que no tempo inicial $ t = 0 $, $ x(0) = 0 $. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas e integração, para encontrar a posição da partícula e o ângulo entre o vetor posição e o vetor velocidade no tempo $ t = 1 $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar $ x(t) $. Sabemos que $ \dot{x}(t) = b $, que é a derivada de $ x $ em relação ao tempo. Para achar $ x(t) $, vamos integrar $ \dot{x}(t) $:
Aqui, $ C $ é a constante de integração. Usando a condição inicial $ x(0) = 0 $:
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar $ y(t) $. Sabemos que $ y = x^2 $, então substituindo $ x(t) $:
Passo 4
Com $ x(t) $ e $ y(t) $ conhecidos, podemos escrever o vetor posição $ \vec{r}(t) $:
Passo 5
Agora, para encontrar o vetor velocidade $ \vec{v}(t) $, vamos derivar $ \vec{r}(t) $ em relação ao tempo:
Já sabemos que $ \frac{dx(t)}{dt} = b $. Para $ \frac{dy(t)}{dt} $:
Então,
Passo 6
Vamos agora calcular o ângulo entre $ \vec{r}(t=1) $ e $ \vec{v}(t=1) $. Primeiro, vamos encontrar esses vetores no tempo $ t = 1 $:
Passo 7
O ângulo $ \theta $ entre dois vetores $ \vec{a} $ e $ \vec{c} $ é dado pela fórmula do produto escalar:
Aplicando isso para $ \vec{r}(1) $ e $ \vec{v}(1) $:
Primeiro, calculamos o produto escalar:
Agora, os módulos dos vetores:
Então,
Simplificando:
Para encontrar $ \theta $, tiramos o arco cosseno:
Resposta
(a) O vetor posição da partícula em função do tempo é:
(b) O ângulo entre $ \vec{r}(1) $ e $ \vec{v}(1) $ é: