Uma partícula se move a uma velocidade dada por \vec{v}(t)=\left(16 t \hat{i}+2 t^{2} \hat{j}\right) \mathrm{m} / \mathrm{s}. Considerando a massa da partícula igual a 2,0 \mathrm{~kg}, calcule a orientação da força resultante quando o módulo da mesma equivale a 40,0 \mathrm{~N} e o instante em que isso ocorre.

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade da partícula
\vec v(t) = \bigl(16\,t\,\hat \imath + 2\,t^2\,\hat \jmath\bigr)\\ \mathrm{m/s}
e a massa m = 2,0\\ \mathrm{kg}.
Queremos o instante t em que o módulo da força resultante \vec F = m\,\vec a vale 40,0\\ \mathrm{N} e a orientação dessa força, ou seja, o ângulo \theta que \vec F faz com o eixo x.

Passo 2

Primeiro calculamos a aceleração como derivada de \vec v(t):
\vec a(t) = \frac{d\vec v}{dt} = \bigl(16\,\hat \imath + 4\,t\,\hat \jmath\bigr)\\ \mathrm{m/s^2}.
Logo, a força resultante é
\vec F(t) = m\,\vec a(t) = 2,0\bigl(16\,\hat \imath + 4\,t\,\hat \jmath\bigr) = \bigl(32\,\hat \imath + 8\,t\,\hat \jmath\bigr)\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Impondo \|\vec F(t)\| = 40,0\\ \mathrm{N}, temos
\sqrt{32^2 + (8\,t)^2} = 40.
Elevando ao quadrado,
32^2 + 64\,t^2 = 40^2 \quad\Longrightarrow\quad 1024 + 64\,t^2 = 1600 \quad\Longrightarrow\quad 64\,t^2 = 576 \quad\Longrightarrow\quad t^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad t = 3\\ \mathrm{s}.

Passo 4

A orientação \theta de \vec F em relação ao eixo x satisfaz
\tan\theta = \frac{F_y}{F_x} = \frac{8\,t}{32} = \frac{8\cdot 3}{32} = \frac{3}{4}.
Assim,
\theta = \arctan\!\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)\approx 36,87^\circ.

Resposta

O instante é t = 3\\ \mathrm{s} e a orientação da força é \theta \approx 36,9^\circ em relação ao eixo x.

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