Uma partícula move-se com velocidade
.
(i) Qual a distância percorrida entre
e
?
(ii) Qual é a velocidade média nesse intervalo?
(iii) Quando a aceleração é mais negativa e qual é esse valor?
(iv) Encontre a aceleração média nos primeiros dois segundos.
(i) Qual a distância percorrida entre
(ii) Qual é a velocidade média nesse intervalo?
(iii) Quando a aceleração é mais negativa e qual é esse valor?
(iv) Encontre a aceleração média nos primeiros dois segundos.
Passo 1
O enunciado dá a velocidade da partícula
e pede quatro coisas:
- Qual a distância percorrida entre
e . - Qual a velocidade média nesse intervalo
. - Quando a aceleração é mais negativa (ou seja, o instante em que
atinge seu valor mínimo) e qual é esse valor. - A aceleração média nos primeiros dois segundos (no intervalo
).
As informações relevantes: a expressão explícita de
acima e os intervalos de tempo indicados.
Passo 2
Entendendo a primeira pergunta (distância entre
e
) — conceito e estratégia:
- A distância percorrida num intervalo de tempo é a integral do módulo da velocidade:
. - Se a velocidade não muda de sinal no intervalo, então
(ou se for negativa), e a distância é simplesmente a integral de . - Portanto primeiro checamos o sinal de
em . Vamos fatorar para ver suas raízes:
As raízes são
(raiz dupla) e
. Como
, em todo o intervalo
temos
, logo
e
; portanto
em
. Conclusão: a velocidade é positiva nesse intervalo e, portanto,
Passo 3
Calcular a integral (distância) passo a passo:
- Primeiro encontremos uma primitiva de
.
(Explicação rápida:
. Então
e
.)
- Avaliando de
a :
- Calculemos os termos:
então no
o valor é
.
No o valor é
.
Logo
No
Logo
Portanto a distância percorrida entre
e
é
.
Passo 4
Velocidade média no intervalo
— conceito e cálculo:
- A velocidade média em
é definida como
- Aplicando para
, :
porque
.
- Já calculamos a integral e achamos
. Assim
(Interpretação: como a velocidade foi sempre positiva e o intervalo tem duração
, a velocidade média coincide com o deslocamento total.)
Passo 5
Encontrar onde a aceleração é mais negativa e qual é esse valor — passo a passo:
- A aceleração é a derivada da velocidade:
. - Derivando
temos
(Explicação:
. Assim
e
.)
-
é uma parábola (polinômio quadrático) com coeficiente de positivo ( ), então ela abre para cima e possui um valor mínimo (vértice). Para achar o instante de mínimo podemos igualar a derivada de a zero (essa derivada é o “jerk”):
- Resolver
:
Portanto a aceleração é mínima em
.
- Agora calculamos
:
Logo o valor mais negativo da aceleração é
(ou
) e ocorre em
.
Passo 6
Aceleração média nos primeiros dois segundos (intervalo
) — conceito e cálculo fácil:
- A aceleração média em
é
- Mas há uma forma muito prática: por integração por partes da definição ou observação direta,
(porque ). Então
- Calculemos
e :
- Portanto
A aceleração média nos primeiros dois segundos é
.
Resposta
(i)
(ii)
(iii) e
(iv)
(ii)
(iii)
(iv)