Uma partícula move-se com velocidade \mathrm{v}(\mathrm{t})=8 \mathrm{t}^{\wedge} 3-6 \mathrm{t}^{\wedge} 2.
(i) Qual a distância percorrida entre \mathrm{t}=1 e \mathrm{t}=2 ?
(ii) Qual é a velocidade média nesse intervalo?
(iii) Quando a aceleração é mais negativa e qual é esse valor?
(iv) Encontre a aceleração média nos primeiros dois segundos.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula
\mathrm{v}(t)=8t^{3}-6t^{2}
e pede quatro coisas:
  1. Qual a distância percorrida entre t=1 e t=2.
  2. Qual a velocidade média nesse intervalo [1,2].
  3. Quando a aceleração é mais negativa (ou seja, o instante em que a(t) atinge seu valor mínimo) e qual é esse valor.
  4. A aceleração média nos primeiros dois segundos (no intervalo [0,2]).
As informações relevantes: a expressão explícita de \mathrm{v}(t) acima e os intervalos de tempo indicados.

Passo 2

Entendendo a primeira pergunta (distância entre t=1 e t=2) — conceito e estratégia:
  • A distância percorrida num intervalo de tempo é a integral do módulo da velocidade: \displaystyle \text{distância}=\int_{1}^{2} |\mathrm{v}(t)|\,dtâ.
  • Se a velocidade não muda de sinal no intervalo, então |\mathrm{v}(t)|=\mathrm{v}(t) (ou -\mathrm{v}(t) se for negativa), e a distância é simplesmente a integral de \mathrm{v}(t).
  • Portanto primeiro checamos o sinal de \mathrm{v}(t) em [1,2]. Vamos fatorar \mathrm{v}(t) para ver suas raízes:
\mathrm{v}(t)=8t^{3}-6t^{2}=2t^{2}(4t-3).
As raízes são t=0 (raiz dupla) e t=\tfrac{3}{4}. Como 1>\tfrac{3}{4}, em todo o intervalo [1,2] temos t>\tfrac{3}{4}, logo 4t-3>0 e t^{2}>0; portanto \mathrm{v}(t)>0 em [1,2]. Conclusão: a velocidade é positiva nesse intervalo e, portanto,
\text{distância}=\int_{1}^{2}\mathrm{v}(t)\,dt.â

Passo 3

Calcular a integral (distância) passo a passo:
  • Primeiro encontremos uma primitiva de \mathrm{v}(t)=8t^{3}-6t^{2}.
\text{Uma primitiva é }F(t)=\int (8t^{3}-6t^{2})\,dt = 2t^{4}-2t^{3}+C.é
(Explicação rápida: \int t^{n}dt=\tfrac{t^{n+1}}{n+1}. Então \int 8t^{3}dt=8\cdot\tfrac{t^{4}}{4}=2t^{4} e \int -6t^{2}dt=-6\cdot\tfrac{t^{3}}{3}=-2t^{3}.)
  • Avaliando de 1 a 2:
\int_{1}^{2}\mathrm{v}(t)\,dt = \bigl[2t^{4}-2t^{3}\bigr]_{1}^{2} = \bigl(2\cdot 2^{4}-2\cdot 2^{3}\bigr) - \bigl(2\cdot 1^{4}-2\cdot 1^{3}\bigr).
  • Calculemos os termos:
2\cdot 2^{4}=2\cdot 16=32,\qquad 2\cdot 2^{3}=2\cdot 8=16,
então no t=2 o valor é 32-16=16.
No t=1 o valor é 2-2=0.
Logo
\int_{1}^{2}\mathrm{v}(t)\,dt = 16-0 = 16.
Portanto a distância percorrida entre t=1 e t=2 é \,16.

Passo 4

Velocidade média no intervalo [1,2] — conceito e cálculo:
  • A velocidade média em [a,b] é definida como
\overline{\mathrm{v}}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\mathrm{v}(t)\,dt.
  • Aplicando para a=1, b=2:
\overline{\mathrm{v}}=\frac{1}{2-1}\int_{1}^{2}\mathrm{v}(t)\,dt = \int_{1}^{2}\mathrm{v}(t)\,dt
porque b-a=1.
  • Já calculamos a integral e achamos 16. Assim
\overline{\mathrm{v}} = 16.
(Interpretação: como a velocidade foi sempre positiva e o intervalo tem duração 1, a velocidade média coincide com o deslocamento total.)

Passo 5

Encontrar onde a aceleração é mais negativa e qual é esse valor — passo a passo:
  • A aceleração é a derivada da velocidade: a(t)=\mathrm{v}'(t).
  • Derivando \mathrm{v}(t)=8t^{3}-6t^{2} temos
a(t)=24t^{2}-12t.
(Explicação: \frac{d}{dt}t^{n}=nt^{n-1}. Assim d(8t^{3})/dt=24t^{2} e d(-6t^{2})/dt=-12t.)
  • a(t) é uma parábola (polinômio quadrático) com coeficiente de t^{2} positivo ( 24>0), então ela abre para cima e possui um valor mínimo (vértice). Para achar o instante de mínimo podemos igualar a derivada de a(t) a zero (essa derivada é o “jerk”):
a'(t)=\frac{d}{dt}a(t)=\frac{d}{dt}(24t^{2}-12t)=48t-12.
  • Resolver a'(t)=0:
48t-12=0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{12}{48}=\frac{1}{4}.
Portanto a aceleração é mínima em t=\tfrac{1}{4}.
  • Agora calculamos a\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr):
a\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=24\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}-12\left(\tfrac{1}{4}\right)=24\cdot\tfrac{1}{16}-12\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{24}{16}-3=\tfrac{3}{2}-3=-\tfrac{3}{2}.
Logo o valor mais negativo da aceleração é -\tfrac{3}{2} (ou -1{,}5) e ocorre em t=\tfrac{1}{4}.

Passo 6

Aceleração média nos primeiros dois segundos (intervalo [0,2]) — conceito e cálculo fácil:
  • A aceleração média em [0,2] é
\overline{a}=\frac{1}{2-0}\int_{0}^{2}a(t)\,dt.
  • Mas há uma forma muito prática: por integração por partes da definição ou observação direta, \int_{0}^{2}a(t)\,dt = \mathrm{v}(2)-\mathrm{v}(0) (porque a(t)=\mathrm{v}'(t)). Então
\overline{a}=\frac{\mathrm{v}(2)-\mathrm{v}(0)}{2}.
  • Calculemos \mathrm{v}(2) e \mathrm{v}(0):
\mathrm{v}(2)=8\cdot 2^{3}-6\cdot 2^{2}=8\cdot 8-6\cdot 4=64-24=40,
\mathrm{v}(0)=8\cdot 0-6\cdot 0=0.
  • Portanto
\overline{a}=\frac{40-0}{2}=20.
A aceleração média nos primeiros dois segundos é \,20.

Resposta

(i) \,16
(ii) \,16
(iii) t=\tfrac{1}{4} e a\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=-\tfrac{3}{2}
(iv) \,20

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