A posição de uma partícula é dada pelo vetor f(t)=\left(\cos (2 t), \sin (2 t), t^{2}\right). Encontre os vetores velocidade v(t) e aceleração a(t) em um instante genérico t.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula como o vetor
f(t)=\bigl(\cos(2t),\,\sin(2t),\,t^{2}\bigr)
e pede as funções velocidade v(t) e aceleração a(t). O conteúdo necessário é o conceito de derivada de vetor função, aplicando derivadas de funções elementares: \cos, \sin e potência.

Passo 2

Para obter a velocidade, derivamos cada componente de f(t):
  • \frac{d}{dt}\bigl[\cos(2t)\bigr]=-2\sin(2t) porque \frac{d}{dt}\cos(u)=-\sin(u)\,u' com u=2t.
  • \frac{d}{dt}\bigl[\sin(2t)\bigr]=2\cos(2t) porque \frac{d}{dt}\sin(u)=\cos(u)\,u'.
  • \frac{d}{dt}\bigl[t^{2}\bigr]=2t.
    Logo,
v(t)=f'(t)=\bigl(-2\sin(2t),\,2\cos(2t),\,2t\bigr).

Passo 3

Para obter a aceleração, derivamos cada componente de v(t):
  • \frac{d}{dt}\bigl[-2\sin(2t)\bigr]=-2\cdot2\cos(2t)=-4\cos(2t).
  • \frac{d}{dt}\bigl[2\cos(2t)\bigr]=2\cdot(-2\sin(2t))=-4\sin(2t).
  • \frac{d}{dt}\bigl[2t\bigr]=2.
    Portanto,
a(t)=v'(t)=\bigl(-4\cos(2t),\,-4\sin(2t),\,2\bigr).

Resposta

v(t)=\bigl(-2\sin(2t),\,2\cos(2t),\,2t\bigr) a(t)=\bigl(-4\cos(2t),\,-4\sin(2t),\,2\bigr)

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