Uma partícula está se movendo ao longo da curva
. Quando o ponto
é atingido, a coordenada
está crescendo a uma taxa de
. A que taxa a coordenada
está variando nesse instante?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto:
- A relação entre as coordenadas é
. - No instante considerado o ponto na curva é
. Ou seja, naquele instante tem-se e . - A taxa de variação da coordenada
naquele instante é (o enunciado diz que está crescendo). - O que o problema pede é: encontrar a taxa de variação de
naquele mesmo instante, isto é, determinar quando , e .
Passo 2
Entendendo como tratar quantidades que mudam no tempo (ideia básica de “related rates”).
- Aqui
e não são números fixos: são funções do tempo . Então escrevemos e . - A relação
vale para todos os tempos, então também vale quando diferenciamos ambos os lados em relação a . - Para diferenciar um produto
usamos a regra do produto: se e são funções, então Vou aplicar isso a .
Passo 3
Aplicando a diferenciação implícita:
-
Diferenciando
em relação a obtemos, pelo produto, porque a derivada de(constante) é . -
Para ficar mais compacto, escrevo
Passo 4
Isolando
:
- Da equação
temos - Dividindo por
(que aqui vale , portanto não é zero) segue Esta fórmula é útil: ela expressa em termos de e .
Passo 5
Substituindo os valores numéricos e calculando:
- Substituo
, e na expressão - Isso dá
- Como a unidade de
era , a unidade de também é . Portanto
Passo 6
Interpretação e pequeno check:
- O sinal negativo significa que
está diminuindo naquele instante, com velocidade de . Faz sentido físico: pela equação (hipérbole), se aumenta precisa diminuir para manter o produto constante. - Como verificação alternativa rápida, nota-se que
. Derivando explicitamente: e substituindo e obtém-se que confirma o resultado.