Uma partícula está se movendo ao longo da curva x y=8. Quando o ponto (2,4) é atingido, a coordenada x está crescendo a uma taxa de 3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. A que taxa a coordenada y está variando nesse instante?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto:
  • A relação entre as coordenadas é \,x y = 8\,.
  • No instante considerado o ponto na curva é (2,4). Ou seja, naquele instante tem-se \,x=2\, e \,y=4\,.
  • A taxa de variação da coordenada x naquele instante é \dfrac{dx}{dt}=3\\ \mathrm{cm/s} (o enunciado diz que x está crescendo).
  • O que o problema pede é: encontrar a taxa de variação de y naquele mesmo instante, isto é, determinar \dfrac{dy}{dt} quando x=2, y=4 e \dfrac{dx}{dt}=3\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 2

Entendendo como tratar quantidades que mudam no tempo (ideia básica de “related rates”).
  • Aqui x e y não são números fixos: são funções do tempo t. Então escrevemos x=x(t) e y=y(t).
  • A relação \,x y = 8\, vale para todos os tempos, então também vale quando diferenciamos ambos os lados em relação a t.
  • Para diferenciar um produto x(t)\,y(t) usamos a regra do produto: se u(t) e v(t) são funções, então \frac{d}{dt}\big(u(t)v(t)\big)=u(t)\frac{dv}{dt}+v(t)\frac{du}{dt}.Vou aplicar isso a x(t)\,y(t).

Passo 3

Aplicando a diferenciação implícita:
  • Diferenciando \,x(t)\,y(t)=8\, em relação a t obtemos, pelo produto,
    x(t)\,\frac{dy}{dt}+y(t)\,\frac{dx}{dt}=0,
    porque a derivada de 8 (constante) é 0.
  • Para ficar mais compacto, escrevo
    x\frac{dy}{dt}+y\frac{dx}{dt}=0.

Passo 4

Isolando \dfrac{dy}{dt}:
  • Da equação x\frac{dy}{dt}+y\frac{dx}{dt}=0 temos x\frac{dy}{dt}=-y\frac{dx}{dt}.
  • Dividindo por x (que aqui vale 2, portanto não é zero) segue \frac{dy}{dt}=-\frac{y}{x}\,\frac{dx}{dt}.Esta fórmula é útil: ela expressa \dfrac{dy}{dt} em termos de x,y e \dfrac{dx}{dt}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos e calculando:
  • Substituo \,x=2, \,y=4 e \,\dfrac{dx}{dt}=3\\ \mathrm{cm/s} na expressão \frac{dy}{dt}=-\frac{y}{x}\,\frac{dx}{dt}.
  • Isso dá \frac{dy}{dt}=-\frac{4}{2}\cdot 3 = -2\cdot 3 = -6.
  • Como a unidade de \dfrac{dx}{dt} era \mathrm{cm/s}, a unidade de \dfrac{dy}{dt} também é \mathrm{cm/s}. Portanto \frac{dy}{dt}=-6\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 6

Interpretação e pequeno check:
  • O sinal negativo significa que y está diminuindo naquele instante, com velocidade de 6\\ \mathrm{cm/s}. Faz sentido físico: pela equação \,x y=8\, (hipérbole), se x aumenta y precisa diminuir para manter o produto constante.
  • Como verificação alternativa rápida, nota-se que y=8/x. Derivando explicitamente: \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{8}{x}\right)=-8\frac{1}{x^2}\frac{dx}{dt},e substituindo x=2 e \dfrac{dx}{dt}=3 obtém-se \frac{dy}{dt}=-8\frac{1}{4}\cdot 3=-2\cdot 3=-6\\ \mathrm{cm/s},que confirma o resultado.

Resposta

-6\\ \mathrm{cm/s}

Exercícios relacionados