Se
, encontre a taxa quando
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a relação entre três variáveis dependentes do tempo
:
As informações numéricas fornecidas são:
- o ponto onde queremos a taxa:
, - as taxas
e .
A pergunta é: encontrar a taxa de variação de
em relação a
, isto é
, no instante em que
e
.
Passo 2
Ideia do método que vamos usar (explicação didática): como
,
e
dependem do tempo
, a igualdade
deve ser diferenciada em relação a
. Ao diferenciar uma expressão do tipo
usamos a regra da cadeia: se
depende de
, então
Exemplo simples: se
então
— aqui só para ilustrar como funciona a cadeia quando
depende de
.
Passo 3
Aplicando a diferenciação termo a termo na igualdade
, usando a regra da cadeia para cada termo e lembrando que a derivada de uma constante é zero, obtemos:
Pela regra da cadeia cada derivada vale
,
e
. Assim:
Passo 4
Agora isolamos
. Primeiro fatoramos o
ou movemos os termos:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
, aqui
então está OK) obtemos a fórmula geral:
Esta fórmula é útil: ela mostra como a taxa de
se relaciona com as taxas de
e
em qualquer ponto da superfície esférica
.
Passo 5
Substituímos os valores dados na fórmula. Com
,
,
,
e
temos:
logo a soma é
. Portanto
Passo 6
Interpretação física/geométrica rápida: o sinal negativo indica que, naquele instante, enquanto
e
estão aumentando (taxas positivas),
está diminuindo — faz sentido porque os pontos estão movendo-se ao longo da esfera de raio
, e para manter
o aumento em
e
obriga
a diminuir.