Se x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, encontre a taxa quando (x, y, z)=(2,1,2) e dx/dt = dy/dt = 4.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação entre três variáveis dependentes do tempo t:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
As informações numéricas fornecidas são:
  • o ponto onde queremos a taxa: (x,y,z)=(2,1,2),
  • as taxas \dfrac{dx}{dt}=4 e \dfrac{dy}{dt}=4.
A pergunta é: encontrar a taxa de variação de z em relação a t, isto é \dfrac{dz}{dt}, no instante em que (x,y,z)=(2,1,2) e \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dy}{dt}=4.

Passo 2

Ideia do método que vamos usar (explicação didática): como x, y e z dependem do tempo t, a igualdade \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 deve ser diferenciada em relação a t. Ao diferenciar uma expressão do tipo u(t)^{2} usamos a regra da cadeia: se u depende de t, então
\frac{d}{dt}\bigl(u(t)^{2}\bigr)=2\,u(t)\,\frac{du}{dt}.
Exemplo simples: se u(t)=t^{2} então \dfrac{d}{dt}(u^{2})=2u\,u' = 2t^{2}\cdot 2t — aqui só para ilustrar como funciona a cadeia quando u depende de t.

Passo 3

Aplicando a diferenciação termo a termo na igualdade \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, usando a regra da cadeia para cada termo e lembrando que a derivada de uma constante é zero, obtemos:
\frac{d}{dt}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(y^{2}\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(z^{2}\bigr)=\frac{d}{dt}(9)=0.
Pela regra da cadeia cada derivada vale 2x\,\dfrac{dx}{dt}, 2y\,\dfrac{dy}{dt} e 2z\,\dfrac{dz}{dt}. Assim:
2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}+2z\frac{dz}{dt}=0.

Passo 4

Agora isolamos \dfrac{dz}{dt}. Primeiro fatoramos o 2 ou movemos os termos:
2z\frac{dz}{dt}=-\bigl(2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}\bigr).
Dividindo ambos os lados por 2z (assumindo z\neq0, aqui z=2 então está OK) obtemos a fórmula geral:
\frac{dz}{dt}=-\frac{x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}}{z}.
Esta fórmula é útil: ela mostra como a taxa de z se relaciona com as taxas de x e y em qualquer ponto da superfície esférica x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.

Passo 5

Substituímos os valores dados na fórmula. Com x=2, y=1, z=2, \dfrac{dx}{dt}=4 e \dfrac{dy}{dt}=4 temos:
x\frac{dx}{dt}=2\cdot 4=8,\qquad y\frac{dy}{dt}=1\cdot 4=4,
logo a soma é 8+4=12. Portanto
\frac{dz}{dt}=-\frac{12}{2}.

Passo 6

Interpretação física/geométrica rápida: o sinal negativo indica que, naquele instante, enquanto x e y estão aumentando (taxas positivas), z está diminuindo — faz sentido porque os pontos estão movendo-se ao longo da esfera de raio 3, e para manter x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 o aumento em x e y obriga z a diminuir.

Resposta

-6

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