Suponha
. Se
, determine o valor pedido.
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita entre
e
:
Também diz que a derivada temporal de
é
A pergunta implícita é: determine a derivada temporal de
, isto é,
.
Passo 2
Conceito que vamos usar: como
e
dependem do tempo
e estão ligados pela equação acima, diferenciamos ambos os lados dessa igualdade em relação a
. Isso chama-se diferenciação implícita.
Regra importante (cadeia): se
, então a derivada de
em relação a
é
No nosso caso
será
, portanto
Passo 3
Agora diferenciamos a equação dada termo a termo em relação a
. Como o lado direito é zero, sua derivada é zero:
Aplicando a linearidade da derivada e a regra da cadeia, obtemos
Substituindo
, fica
Simplificando,
Passo 4
Isolamos
. Primeiro subtrai-se o segundo termo:
Agora divide-se ambos os lados por
(observação:
para dividir por
):
Aqui explique o que cada símbolo representa:
é a taxa de variação de
no tempo;
é a taxa de variação de
(fornecida);
é o valor instantâneo da variável
no tempo considerado.
Passo 5
Substituímos o valor dado
na fórmula encontrada:
Portanto a expressão final para
em termos de
é
. Note que, para obter um número concreto, seria preciso conhecer um valor numérico de
naquele instante. Também observe da equação original que
, logo
deve ser não-positivo para existirem
reais.
Passo 6
Exemplos numéricos rápidos para sentir o resultado:
- Se no instante considerado
, então
- Se
, então
Isso mostra que o sinal de
depende do sinal de
.