Suponha 4 x^{2}+5y=0. Se d y / d t=\frac{1}{3}, determine o valor pedido.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita entre x e y:
4x^{2}+5y=0.
Também diz que a derivada temporal de y é
\frac{d y}{d t}=\frac{1}{3}.
A pergunta implícita é: determine a derivada temporal de x, isto é, \dfrac{d x}{d t}.

Passo 2

Conceito que vamos usar: como x e y dependem do tempo t e estão ligados pela equação acima, diferenciamos ambos os lados dessa igualdade em relação a t. Isso chama-se diferenciação implícita.
Regra importante (cadeia): se u=u(t), então a derivada de u^{2} em relação a t é
\frac{d}{dt}\big(u^{2}\big)=2u\frac{du}{dt}.
No nosso caso u será x(t), portanto
\frac{d}{dt}\big(x^{2}\big)=2x\frac{dx}{dt}.

Passo 3

Agora diferenciamos a equação dada termo a termo em relação a t. Como o lado direito é zero, sua derivada é zero:
\frac{d}{dt}\big(4x^{2}+5y\big)=0.
Aplicando a linearidade da derivada e a regra da cadeia, obtemos
4\cdot\frac{d}{dt}\big(x^{2}\big)+5\cdot\frac{d y}{d t}=0.
Substituindo \dfrac{d}{dt}\big(x^{2}\big)=2x\dfrac{dx}{dt}, fica
4\cdot\big(2x\frac{dx}{dt}\big)+5\frac{dy}{dt}=0.
Simplificando,
8x\frac{dx}{dt}+5\frac{dy}{dt}=0.

Passo 4

Isolamos \dfrac{dx}{dt}. Primeiro subtrai-se o segundo termo:
8x\frac{dx}{dt}=-5\frac{dy}{dt}.
Agora divide-se ambos os lados por 8x (observação: x\neq0 para dividir por x):
\frac{dx}{dt}=-\frac{5}{8x}\frac{dy}{dt}.
Aqui explique o que cada símbolo representa: \dfrac{dx}{dt} é a taxa de variação de x no tempo; \dfrac{dy}{dt} é a taxa de variação de y (fornecida); x é o valor instantâneo da variável x no tempo considerado.

Passo 5

Substituímos o valor dado \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{3} na fórmula encontrada:
\frac{dx}{dt}=-\frac{5}{8x}\cdot\frac{1}{3}=-\frac{5}{24x}.
Portanto a expressão final para \dfrac{dx}{dt} em termos de x é -\dfrac{5}{24x}. Note que, para obter um número concreto, seria preciso conhecer um valor numérico de x naquele instante. Também observe da equação original que x^{2}=-\dfrac{5}{4}y, logo y deve ser não-positivo para existirem x reais.

Passo 6

Exemplos numéricos rápidos para sentir o resultado:
  • Se no instante considerado x=1, então
\frac{dx}{dt}=-\frac{5}{24}\approx-0{,}2083.
  • Se x=-2, então
\frac{dx}{dt}=-\frac{5}{24\cdot(-2)}=\frac{5}{48}\approx0{,}1042.
Isso mostra que o sinal de \dfrac{dx}{dt} depende do sinal de x.

Resposta

\displaystyle \frac{dx}{dt}=-\frac{5}{24x}

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