Uma partícula movendo-se com velocidade v colide elasticamente com outra com o dobro de sua massa que está inicialmente em repouso. A colisão faz com que a primeira partícula sofra uma deflexão de 45^{\circ}. Calcule a magnitude das velocidades das duas partículas e em que direção a segunda sai após a colisão.

Passo 1

O enunciado descreve uma colisão elástica em duas dimensões entre uma partícula de massa m que se move com velocidade inicial v e outra de massa 2m inicialmente em repouso. Após o choque, a primeira partícula é defletida de 45^\circ em relação à sua direção original. Para resolver precisamos aplicar conservação de quantidade de movimento nos eixos x e y e conservação de energia cinética.

Passo 2

Definimos:
u = magnitude da velocidade final da partícula de massa m (que sai a 45^\circ).
w = magnitude da velocidade final da partícula de massa 2m.
\theta = ângulo de w medido a partir da direção original da partícula m (positiva no sentido anti-horário).
Também usamos \cos45^\circ=\sin45^\circ=\tfrac1{\sqrt2}.

Passo 3

Conservação de momento linear em x:
m\,v = m\,u\cos45^\circ + 2m\,w\cos\theta
\implies v = u\,\tfrac1{\sqrt2} + 2w\cos\theta.
Conservação de momento linear em y:
0 = m\,u\sin45^\circ + 2m\,w\sin\theta
\implies u\,\tfrac1{\sqrt2} + 2w\sin\theta = 0.
Conservação de energia cinética:
\tfrac12 m v^2 = \tfrac12 m u^2 + \tfrac12\,(2m)\,w^2
\implies v^2 = u^2 + 2w^2.

Passo 4

Das duas equações de momento temos
\sin\theta = -\,\frac{u}{\sqrt2\;\,2w}, \qquad \cos\theta = \frac{v - u/\sqrt2}{2w}.
Impondo \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 resulta
\frac{u^2\,(1/2) + \bigl(v - u/\sqrt2\bigr)^2}{4w^2} = 1.
Multiplicando ambos os lados por 4w^2 e usando w^2=(v^2 - u^2)/2 da energia, obtemos a equação quadrática em u:
3u^2 - 2\,\frac{v}{\sqrt2}\,u - v^2 = 0.

Passo 5

Resolvendo
u = \frac{2\,(v/\sqrt2)\pm\sqrt{4\,(v/\sqrt2)^2 + 12\,v^2}}{6} = \frac{\sqrt2\,v \pm \sqrt{14}\,v}{6}.
A única solução física u>0 é
u = \frac{\sqrt2 + \sqrt{14}}{6}\;v\approx 0{,}859\,v.

Passo 6

Da energia cinética final
w = \sqrt{\frac{v^2 - u^2}{2}} = v\,\sqrt{\frac{5 - \sqrt7}{18}} \approx 0{,}362\,v.

Passo 7

A direção da segunda partícula vem de
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\,\frac{u/\sqrt2}{\,v - u/\sqrt2\,} = -\,\frac{\sqrt7+1}{5-\sqrt7} = -\,\frac{\sqrt7+2}{3},
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\theta = -\,\arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt7+2}{3}\bigr) \approx -57{,}5^\circ,
isto é, a massa 2m sai a 57{,}5^\circ abaixo da direção original.

Resposta

Velocidade da partícula m:
u = \frac{\sqrt2 + \sqrt{14}}{6}\,v \approx 0{,}859\,v.
Velocidade da partícula 2m:
w = v\,\sqrt{\frac{5 - \sqrt7}{18}} \approx 0{,}362\,v.
Direção da partícula 2m: \displaystyle \theta\approx -57{,}5^\circ (abaixo da direção inicial).

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