(2.0 ptos) Sejam B_{1}=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\} uma base de \mathbb{R}^{3}, B_{2}=\{(0,1),(-1,1)\} uma base de \mathbb{R}^{2} e T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma transformação linear tal que [T]_{B_{2}}^{B_{1}}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right]_{2 \times 3} Encontre a expressão da transformação linear T. Passo 1O enunciado define as bases B_{1}=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\}\subset\mathbb{R}^{3} e B_{2}=\{(0,1),(-1,1)\}\subset\mathbb{R}^{2} e diz que a matriz de T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} relativa a essas bases é [T]_{B_{2}}^{B_{1}} =\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}. Queremos encontrar a expressão de T no sistema de coordenadas canônico, usando mudança de base. Passo 2Seja v=(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}. Vamos achar as coordenadas [v]_{B_{1}}=(a,b,c) tais que v = a(1,1,1) + b(0,1,1) + c(0,0,1). Isso dá o sistema (a,\;a+b,\;a+b+c) = (x,y,z). Logo a = x,\quad b = y - x,\quad c = z - y. Passo 3Aplicamos a matriz de T às coordenadas (a,b,c). Chamando [T(v)]_{B_{2}}=(d,e), temos \begin{pmatrix}d\e\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - b\\\ b + c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - (y - x)\\\ (y - x) + (z - y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x - y\\\ z - x \end{pmatrix}. Passo 4Para voltar à base canônica de \mathbb{R}^{2}, escrevemos T(v)=d\,(0,1)+e\,(-1,1) =(\,-e,\;d+e\,) com d=2x-y e e=z-x. Assim T(x,y,z) =\bigl(-\,(z - x),\;(2x - y)+(z - x)\bigr) =(x - z,\;x - y + z). Resposta T(x,y,z) = \bigl(x - z,\;x - y + z\bigr). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosUma partícula movendo-se com velocidade v colide elasticamente com outra com o dobro de sua massa que está inicialmente em repouso. A colisão faz com que a primeira partícula sofra uma deflexão de 45^{\circ}. Calcule a magnitude das velocidades das duas partículas e em que direção a segunda sai após a colisão. Resolva as operações de divisão: 3) 18 x^{6} y^{5}+12 x^{4} y^{7}+15 x^{8} y^{3}: 3 x^{3} y^{2} x (2) (3.0 ptos) Seja V=\left(\mathbb{R}^{2}, \oplus, \odot, \mathbb{R}\right) espaço vetorial com a soma e produto por um escalar definidos como: (i) \left(x_{1}, y_{1}\right) \oplus\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+1, y_{1}+y_{2}\right), \quad \forall\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}, (ii) \lambda \odot(x, y)=(\lambda \cdot x+(\lambda-1), \lambda \cdot y), \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, onde +\mathrm{e} \cdot são a soma e o produto usual em \mathbb{R}. Responda verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta. (a) A função F: V \rightarrow V definida como F(x, y)=(2 \cdot x, 2 \cdot y) é uma transformação linear. (b) A função G: V \rightarrow V definida como G(x, y)=(x+y, y) é uma transformação linear. (3.0 ptos) Determine a transformação inversa (caso exista) de T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow M(2,2) onde T(x, y, z, t)=\left[\begin{array}{cc} -2 x+y+z & z-y+t \\\ t-x+y & z-t \end{array}\right]_{2 \times 2} . Ache a matriz associada (caso exista) de T^{-1}.