(2.0 ptos) Sejam B_{1}=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\} uma base de \mathbb{R}^{3}, B_{2}=\{(0,1),(-1,1)\} uma base de \mathbb{R}^{2} e T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma transformação linear tal que
[T]_{B_{2}}^{B_{1}}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right]_{2 \times 3}
Encontre a expressão da transformação linear T.

Passo 1

O enunciado define as bases
B_{1}=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\}\subset\mathbb{R}^{3}
e
B_{2}=\{(0,1),(-1,1)\}\subset\mathbb{R}^{2}
e diz que a matriz de T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} relativa a essas bases é
[T]_{B_{2}}^{B_{1}} =\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Queremos encontrar a expressão de T no sistema de coordenadas canônico, usando mudança de base.

Passo 2

Seja v=(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}. Vamos achar as coordenadas [v]_{B_{1}}=(a,b,c) tais que
v = a(1,1,1) + b(0,1,1) + c(0,0,1).
Isso dá o sistema
(a,\;a+b,\;a+b+c) = (x,y,z).
Logo
a = x,\quad b = y - x,\quad c = z - y.

Passo 3

Aplicamos a matriz de T às coordenadas (a,b,c). Chamando [T(v)]_{B_{2}}=(d,e), temos
\begin{pmatrix}d\e\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - b\\\ b + c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - (y - x)\\\ (y - x) + (z - y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x - y\\\ z - x \end{pmatrix}.

Passo 4

Para voltar à base canônica de \mathbb{R}^{2}, escrevemos
T(v)=d\,(0,1)+e\,(-1,1) =(\,-e,\;d+e\,)
com d=2x-y e e=z-x. Assim
T(x,y,z) =\bigl(-\,(z - x),\;(2x - y)+(z - x)\bigr) =(x - z,\;x - y + z).

Resposta

T(x,y,z) = \bigl(x - z,\;x - y + z\bigr).

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