x (2) (3.0 ptos) Seja
espaço vetorial com a soma e produto por um escalar definidos como:
(i)
,
(ii)
, onde
são a soma e o produto usual em
.
Responda verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
(a) A função
definida como
é uma transformação linear.
(b) A função
definida como
é uma transformação linear.
(i)
(ii)
(a) A função
(b) A função
Passo 1
O enunciado define em
as operações
Pede-se para verificar se as aplicações
são transformações lineares, isto é, se preservam a soma e a multiplicação por escalar em
.
Passo 2
Uma aplicação
é linear se, para todo
e todo
, valem
Passo 3
Verificação para
: sejam
e
. Então
enquanto
Como
, temos
logo
não preserva a soma e não é linear.
Passo 4
Verificação para
da aditividade: com
,
,
logo
Por outro lado,
o que coincide com
.
Passo 5
Verificação para
da homogeneidade: para
e
,
então
E
Como são iguais,
preserva a multiplicação por escalar.
Portanto
satisfaz ambas as propriedades de linearidade.
Resposta
(a) Falso.
(b) Verdadeiro.
(b) Verdadeiro.