x (2) (3.0 ptos) Seja V=\left(\mathbb{R}^{2}, \oplus, \odot, \mathbb{R}\right) espaço vetorial com a soma e produto por um escalar definidos como:
(i) \left(x_{1}, y_{1}\right) \oplus\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+1, y_{1}+y_{2}\right), \quad \forall\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2},
(ii) \lambda \odot(x, y)=(\lambda \cdot x+(\lambda-1), \lambda \cdot y), \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, onde +\mathrm{e} \cdot são a soma e o produto usual em \mathbb{R}.
Responda verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
(a) A função F: V \rightarrow V definida como F(x, y)=(2 \cdot x, 2 \cdot y) é uma transformação linear.
(b) A função G: V \rightarrow V definida como G(x, y)=(x+y, y) é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define em V=\bigl(\mathbb{R}^2,\oplus,\odot,\mathbb{R}\bigr) as operações
(x_1,y_1)\oplus(x_2,y_2)=(x_1+x_2+1,\;y_1+y_2), \qquad \lambda\odot(x,y)=(\lambda x+(\lambda-1),\;\lambda y).
Pede-se para verificar se as aplicações
F(x,y)=(2x,2y), \quad G(x,y)=(x+y,y)
são transformações lineares, isto é, se preservam a soma e a multiplicação por escalar em V.

Passo 2

Uma aplicação T\colon V\to V é linear se, para todo u,v\in V e todo \lambda\in\mathbb{R}, valem
T(u\oplus v)=T(u)\oplus T(v), \qquad T\bigl(\lambda\odot v\bigr)=\lambda\odot T(v).

Passo 3

Verificação para F: sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
F\bigl(u\oplus v\bigr) =F\bigl(x_1+x_2+1,\;y_1+y_2\bigr) =\bigl(2(x_1+x_2+1),\;2(y_1+y_2)\bigr) =(2x_1+2x_2+2,\;2y_1+2y_2),
enquanto
F(u)\oplus F(v) =(2x_1,2y_1)\oplus(2x_2,2y_2) =(2x_1+2x_2+1,\;2y_1+2y_2).
Como 2\ne1, temos
F(u\oplus v)\neq F(u)\oplus F(v),
logo F não preserva a soma e não é linear.

Passo 4

Verificação para G da aditividade: com u=(x_1,y_1), v=(x_2,y_2),
u\oplus v=(x_1+x_2+1,\;y_1+y_2),
logo
G(u\oplus v) =\bigl((x_1+x_2+1)+(y_1+y_2),\;y_1+y_2\bigr) =(x_1+y_1+x_2+y_2+1,\;y_1+y_2).
Por outro lado,
G(u)\oplus G(v) =(x_1+y_1,\;y_1)\oplus(x_2+y_2,\;y_2) =(x_1+y_1+x_2+y_2+1,\;y_1+y_2),
o que coincide com G(u\oplus v).

Passo 5

Verificação para G da homogeneidade: para \lambda\in\mathbb{R} e v=(x,y),
\lambda\odot v =\bigl(\lambda x+(\lambda-1),\;\lambda y\bigr),
então
G\bigl(\lambda\odot v\bigr) =\bigl(\lambda x+(\lambda-1)+\lambda y,\;\lambda y\bigr) =\bigl(\lambda(x+y)+(\lambda-1),\;\lambda y\bigr).
E
\lambda\odot G(v) =\lambda\odot(x+y,y) =\bigl(\lambda(x+y)+(\lambda-1),\;\lambda y\bigr).
Como são iguais, G preserva a multiplicação por escalar.
Portanto G satisfaz ambas as propriedades de linearidade.

Resposta

(a) Falso.
(b) Verdadeiro.

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