Um ponto move-se sobre uma trajectória circular de raio
segundo as equações paramétricas:
onde
é a frequência angular.
(a) Mostre que o ponto se move ao longo de um círculo.
(b) Determine a velocidade do ponto em função do tempo.
© Calcule a aceleração centrípeta e demonstre que sua magnitude é
.
(d) Para um raio
e uma frequência angular
, determine a posição do ponto nos instantes
.
(a) Mostre que o ponto se move ao longo de um círculo.
(b) Determine a velocidade do ponto em função do tempo.
© Calcule a aceleração centrípeta e demonstre que sua magnitude é
(d) Para um raio
Passo 1
Então, mano, o enunciado diz que um ponto se move num círculo de raio
com:
Conteúdo: cinemática vetorial básica e representação paramétrica de movimento circular.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Usar identidades trigonométricas pra ver que dá círculo.
- Derivar as funções pra achar velocidade e aceleração (regra da cadeia).
- Calcular magnitude vetorial (Pitagoras).
- Substituir valores numéricos no final.
Passo 2
(a) Mostrar que é círculo.
Teoria: Se uma curva é descrita por , e
pra todo
, é círculo de raio
.
Cálculo:
Teoria: Se uma curva é descrita por
Cálculo:
Como
, bate com a equação de um círculo de raio
.
Passo 3
(b) Velocidade
.
Teoria: derivada de é
, de
é
.
Logo
Teoria: derivada de
Logo
Então
Passo 4
© Aceleração
.
Teoria: novamente regra da cadeia.
Teoria: novamente regra da cadeia.
Então
Isso mostra que a aceleração aponta pra o centro (é centrípeta).
Magnitude:
Magnitude:
Passo 5
(d) Agora,
m e
rad/s.
Posição .
Posição
- Em
:
- Em
s:
- Em
s:
Resposta
(a) De fato
, logo é um círculo de raio
.
(b) .
© , com
.
(d) m,
m,
m.
(b)
©
(d)