Um ponto move-se sobre uma trajectória circular de raio R segundo as equações paramétricas:
x(t)=R cos (omega t), y(t)=R sin (omega t)
onde omega é a frequência angular.
(a) Mostre que o ponto se move ao longo de um círculo.
(b) Determine a velocidade do ponto em função do tempo.
© Calcule a aceleração centrípeta e demonstre que sua magnitude é ac=omega^2 R.
(d) Para um raio R=3 m e uma frequência angular omega=2 rad / s, determine a posição do ponto nos instantes t=0, t=pi4 s e t=pi2 s.

Passo 1

Então, mano, o enunciado diz que um ponto se move num círculo de raio R com:
x(t)=Rcos(omega t), y(t)=Rsin(omega t)
Conteúdo: cinemática vetorial básica e representação paramétrica de movimento circular.
O que vamos precisar:
  • Usar identidades trigonométricas pra ver que dá círculo.
  • Derivar as funções pra achar velocidade e aceleração (regra da cadeia).
  • Calcular magnitude vetorial (Pitagoras).
  • Substituir valores numéricos no final.

Passo 2

(a) Mostrar que é círculo.
Teoria: Se uma curva é descrita por (x(t),y(t)), e x^2+y^2=R^2 pra todo t, é círculo de raio R.
Cálculo:
x^2+y^2 = l(Rcos(omega t)r)^2 + l(Rsin(omega t)r)^2 = R^2l(cos^2(omega t)+sin^2(omega t)r) = R^2cdot1 =R^2
Como cos^2+sin^2=1, bate com a equação de um círculo de raio R.

Passo 3

(b) Velocidade vec v(t)=l(dot x(t),dot y(t)r).
Teoria: derivada de cos(omega t) é -omegasin(omega t), de sin(omega t) é omegacos(omega t).
Logo
dot x(t)=-R,omegasin(omega t), dot y(t)=R,omegacos(omega t)
Então
vec v(t) =l(-Romegasin(omega t),;Romegacos(omega t)r)

Passo 4

© Aceleração vec a(t)=dotvec v(t)=l(ddot x(t),ddot y(t)r).
Teoria: novamente regra da cadeia.
ddot x(t)=-R,omega^2cos(omega t), ddot y(t)=-R,omega^2sin(omega t)
Então
vec a(t) =l(-Romega^2cos(omega t),;-Romega^2sin(omega t)r) =-omega^2,(Rcos(omega t),,Rsin(omega t)) =-omega^2,vec r(t)
Isso mostra que a aceleração aponta pra o centro (é centrípeta).
Magnitude:
ac=|vec a| =raiz(-Romega^2cos)^2+(-Romega^2sin)^2 =Romega^2raizcos^2+sin^2 =Romega^2

Passo 5

(d) Agora, R=3,m e omega=2,rad/s.
Posição vec r(t)=(3cos(2t),,3sin(2t)).
  1. Em t=0:
vec r(0)=(3cos0,,3sin0)=(3,,0) m
  1. Em t=pi/4,s:
2t=2cdotpi4=pi2, vec rl(tfracpi4r) =(3costfracpi2,,3sintfracpi2)=(0,,3) m
  1. Em t=pi/2,s:
2t=2cdotpi2=pi, vec rl(tfracpi2r) =(3cospi,,3sinpi)=(-3,,0) m

Resposta

(a) De fato x^2+y^2=R^2, logo é um círculo de raio R.
(b) vec v(t)=(-Romegasin(omega t),,Romegacos(omega t)).
© vec a(t)=-omega^2vec r(t), com |vec a|=Romega^2.
(d) vec r(0)=(3,0),m, vec r(tfracpi4)=(0,3),m, vec r(tfracpi2)=(-3,0),m.

Exercícios relacionados