Uma partícula que se movimenta num campo elétrico tem velocidade dada pela equação vec{v}=(3,0 t+2,0) \hat{i}+\left(2,0 t^{2}+5,0 t-10\right) \hat{j}+10 \hat{k} sendo a velocidade medida em \mathrm{m} / \mathrm{s} e o tempo em segundos. A posição da partícula no é vec{r}(0)=5,0 \hat{i}-3,0 \hat{j}+4,0 \hat{k}(\mathrm{~m}). Determine:
(RA2) A velocidade média entre t=0 \mathrm{~s} e t=2,0 \mathrm{~s};

Passo 1

O enunciado fornece a velocidade da partícula e a posição inicial, e pede a velocidade média entre t=0\\ \mathrm{s} e t=2,0\\ \mathrm{s}.
Informações dadas (peguei estas expressões do enunciado):
  • A velocidade é
\vec{v}(t) = \bigl(3,0\,t + 2,0\bigr)\,\hat{i} + \bigl(2,0\,t^{2} + 5,0\,t - 10\bigr)\,\hat{j} + 10\,\hat{k}\quad(\mathrm{m/s}).
  • A posição inicial é
\vec{r}(0) = 5,0\,\hat{i} - 3,0\,\hat{j} + 4,0\,\hat{k}\quad(\mathrm{m}).
O que se pede:
  • Calcular a velocidade média \vec{v}_{\text{méd}}é no intervalo de tempo de t=0 até t=2,0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Lembra do conceito: a velocidade média num intervalo de tempo é a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo. Em fórmula:
\vec{v}_{\text{méd}}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\frac{\vec{r}(t_2)-\vec{r}(t_1)}{t_2-t_1}.é
Aqui t_1=0 e t_2=2,0. Para obter \Delta\vec{r} podemos:
  • integrar a velocidade no intervalo e obter o deslocamento
    ou
  • integrar para obter \vec{r}(t) (usando a condição inicial) e subtrair \vec{r}(0) de \vec{r}(2).
Vou integrar componente a componente a velocidade para achar \vec{r}(t) e depois calcular \Delta\vec{r}. Antes de integrar, um lembrete de cálculo muito útil: para um polinômio em t,
\int t^n\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração (será determinada pela condição \vec{r}(0)).

Passo 3

Integrando a componente x.
A componente x da velocidade é v_x(t)=3,0\,t+2,0.
Integrando:
r_x(t)=\int (3,0\,t+2,0)\,dt =3,0\cdot\frac{t^{2}}{2}+2,0\,t+C_x.
Usando a condição \vec{r}(0): r_x(0)=5,0 implica C_x=5,0. Logo
r_x(t)=\frac{3,0}{2}t^{2}+2,0\,t+5,0.
Agora avalio em t=2,0:
r_x(2)=\frac{3,0}{2}\cdot(2,0)^{2}+2,0\cdot2,0+5,0 = \frac{3,0}{2}\cdot4,0 +4,0+5,0 =6,0+4,0+5,0=15,0\\ \mathrm{m}.
O deslocamento em x é \Delta x = r_x(2)-r_x(0)=15,0-5,0=10,0\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Integrando a componente y.
A componente y da velocidade é v_y(t)=2,0\,t^{2}+5,0\,t-10.
Integrando:
r_y(t)=\int (2,0\,t^{2}+5,0\,t-10)\,dt =2,0\cdot\frac{t^{3}}{3}+5,0\cdot\frac{t^{2}}{2}-10\,t+C_y.
Usando r_y(0)=-3,0 obtemos C_y=-3,0. Então
r_y(t)=\frac{2,0}{3}t^{3}+\frac{5,0}{2}t^{2}-10\,t-3,0.
Agora avalio em t=2,0. Calcule passo a passo:
\frac{2,0}{3}\cdot(2,0)^{3}=\frac{2,0}{3}\cdot8,0=\frac{16,0}{3},
\frac{5,0}{2}\cdot(2,0)^{2}=\frac{5,0}{2}\cdot4,0=10,0,
-10\cdot2,0=-20,0.
Somando e incluindo C_y=-3,0:
r_y(2)=\frac{16,0}{3}+10,0-20,0-3,0=\frac{16,0}{3}-13,0.
Transformando 13,0 em terços: 13,0=\dfrac{39,0}{3}, logo
r_y(2)=\frac{16,0-39,0}{3}=\frac{-23,0}{3}\\ \mathrm{m}\approx -7,666\ldots\\ \mathrm{m}.
O deslocamento em y é
\Delta y = r_y(2)-r_y(0)=\frac{-23,0}{3}-(-3,0)=\frac{-23,0}{3}+3,0=\frac{-23,0+9,0}{3}=\frac{-14,0}{3}\\ \mathrm{m}\approx -4,666\ldots\\ \mathrm{m}.
(Esse resultado concilia com integrar diretamente v_y de 0 a 2,0.)

Passo 5

Integrando a componente z.
A componente z da velocidade é v_z(t)=10 (constante).
Integrando:
r_z(t)=\int 10\,dt =10\,t + C_z.
Com r_z(0)=4,0 obtemos C_z=4,0. Assim
r_z(t)=10\,t+4,0.
Avalio em t=2,0:
r_z(2)=10\cdot2,0+4,0=20,0+4,0=24,0\\ \mathrm{m}.
O deslocamento em z é \Delta z = r_z(2)-r_z(0)=24,0-4,0=20,0\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Agora que temos o deslocamento total \Delta\vec{r}, calculamos a velocidade média:
\Delta\vec{r}=\bigl(\Delta x\bigr)\,\hat{i}+\bigl(\Delta y\bigr)\,\hat{j}+\bigl(\Delta z\bigr)\,\hat{k} =10,0\,\hat{i}+\frac{-14,0}{3}\,\hat{j}+20,0\,\hat{k}\\ \mathrm{m}.
O intervalo de tempo é \Delta t=2,0-0=2,0\\ \mathrm{s}. Assim
\vec{v}_{\text{méd}}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} =\frac{1}{2,0}\left(10,0\,\hat{i}+\frac{-14,0}{3}\,\hat{j}+20,0\,\hat{k}\right).é
Dividindo componente a componente:
\vec{v}_{\text{méd}}=5,0\,\hat{i}+\frac{-7,0}{3}\,\hat{j}+10,0\,\hat{k}\\ \mathrm{m/s}.é
Se preferir em decimal aproximado para a componente y:
\frac{-7,0}{3}\approx -2,333\ldots

Resposta

\vec{v}_{\text{méd}}=5,0\,\hat{i}-\dfrac{7,0}{3}\,\hat{j}+10,0\,\hat{k}\\ \mathrm{m/s}é

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