Uma partícula movimenta-se ao longo do eixo
sob a influência de uma força conservativa descrita pela expressão
onde
e
são constantes. Encontre a função de energia potencial
.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o enunciado. A partícula está em um eixo x sofrendo ação de uma força conservativa dada por
(supondo que o “v” era na verdade “x”, pois força conservativa não pode depender de velocidade).
Conteúdo da matéria: energia potencial e relação entre força conservativa e potencial.
O que precisamos:
Conteúdo da matéria: energia potencial e relação entre força conservativa e potencial.
O que precisamos:
- Saber que para força unidimensional conservativa
. - Integrar essa relação para achar
. - Escolher a constante de integração de forma conveniente.
Passo 2
Relação fundamental:
Como
, a gente escreve
Isso diz que a derivada de
em relação a
é
.
Passo 3
Para encontrar
, integramos:
Vamos fazer essa integral por partes. Lembre que, para
, escolhemos:
u = x ⇒ du = dx
dv = e^{-\beta x}dx ⇒ v = \int e^{-\beta x}dx = -\frac{1}{\beta}e^{-\beta x}.
Aplicando partes:
u = x ⇒ du = dx
dv = e^{-\beta x}dx ⇒ v = \int e^{-\beta x}dx = -\frac{1}{\beta}e^{-\beta x}.
Aplicando partes:
Passo 4
Agora multiplica pelo
:
Então
Resposta
Escolhendo
(por exemplo, definindo
se
), a energia potencial fica