Uma partícula movimenta-se ao longo do eixo x sob a influência de uma força conservativa descrita pela expressão
F=-alpha v e^-betan i
onde alpha e beta são constantes. Encontre a função de energia potencial U(x).

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o enunciado. A partícula está em um eixo x sofrendo ação de uma força conservativa dada por
F(x) = -,alpha,x,e^-beta x,i
(supondo que o “v” era na verdade “x”, pois força conservativa não pode depender de velocidade).
Conteúdo da matéria: energia potencial e relação entre força conservativa e potencial.
O que precisamos:
  1. Saber que para força unidimensional conservativa .
  2. Integrar essa relação para achar .
  3. Escolher a constante de integração de forma conveniente.

Passo 2

Relação fundamental:
F(x)=-dUdx
Como -alpha,x,e^-beta x ;=;-,dUdx Longrightarrow dUdx = alpha,x,e^-beta x , a gente escreve
Isso diz que a derivada de em relação a é .

Passo 3

Para encontrar U(x)=integral dUdx,dx =integral alpha,x,e^-beta x,dx , integramos:
integral x,e^-beta x,dx = xl(-1betae^-beta xr) -integral l(-1betae^-beta xr),dx
Vamos fazer essa integral por partes. Lembre que, para = -xbeta,e^-beta x +1betaintegral e^-beta x,dx = -xbeta,e^-beta x +1betal(-1betae^-beta xr) , escolhemos:
u = x ⇒ du = dx
dv = e^{-\beta x}dx ⇒ v = \int e^{-\beta x}dx = -\frac{1}{\beta}e^{-\beta x}.
Aplicando partes:
= -xbetae^-beta x -1beta^2e^-beta x = -l(xbeta+1beta^2r)e^-beta x

Passo 4

Agora multiplica pelo U(x) =alphaintegral x,e^-beta x,dx =alphal[-l(xbeta+1beta^2r)e^-beta xr]+C :
U(x) = -,alphal(xbeta+1beta^2r)e^-beta x + C
Então

Resposta

Escolhendo boxedU(x) = -,alphal(xbeta+1beta^2r),e^-beta x (por exemplo, definindo se ), a energia potencial fica

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