Uma partícula se movimenta do ponto (0,1, pi / 2) até o (2,0,0) no espaço ao longo da hélice r(t):=(2 cos (t), sin (t), t). Considerando os campos vetoriais F(x, y, z):=-y i+x j+4 z k e G=nabla g onde g(x, y, z)=x+y-e^2 x y z, denotamos por TF e TG os trabalhos feitos ao movimentar a partícula sob a ação dos campos F e G respectivamente. Então, podemos concluir que:
a. TG=0 porque G é conservativo.
b. TF=TG.
( c. Nenhuma das outras alternativas.
d. TF>TG
e. TF=0 porque F não é conservativo.

Passo 1

O problema é de cálculo de trabalho de campo vetorial em uma trajetória helicoidal, envolvendo dois campos: um conservativo (G) e outro possivelmente não-conservativo (F). Vamos precisar do teorema fundamental para campos conservativos para T_G e da parametrização da curva para T_F.

Passo 2

Para o campo G, como G=∇g é conservativo, o trabalho independe do caminho e vale g(B)−g(A). Temos
g(x,y,z)=x+y-e^2xyz
Nos pontos A=(0,1,π/2) e B=(2,0,0) calculamos:
g(A)=0+1-e^2,0,1,pi2=1-e^0=0,
g(B)=2+0-e^2cdot2cdot0cdot0=2-e^0=1
Portanto
TG=g(B)-g(A)=1-0=1

Passo 3

Para o campo F, parametrizamos a hélice por
r(t)=(2cos t,,sin t,,t), t de t1=pi2 até t2=0é
Então
r'(t)=(-2sin t,,cos t,,1),
F(r(t))=(-sin t,,2cos t,,4t)
O produto escalar é
F(r(t))cdot r'(t)=(-sin t)(-2sin t)+(2cos t)(cos t)+(4t)cdot1=2+4t
Assim o trabalho é
TF=integralt=pi/2^0(2+4t),dt= -integral0^pi/2(2+4t),dt=-l[pi+pi^22r]

Passo 4

Comparando os valores obtidos temos T_G=1>0 e T_F= -\bigl(\pi+\tfrac{\pi^2}{2}\bigr)<0, ou seja nenhuma das afirmações (a), (b), (d) ou (e) é verdadeira. A alternativa correta é a que diz “Nenhuma das outras alternativas.”

Resposta

Nenhuma das outras alternativas.

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