Verifique se o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial F(x, y, z)=x z i+y z j+3 z^2 k no sólido limitado pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo plano z=1.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o Teorema do Divergente funciona para o campo vetorial dentro de um sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano . Basicamente, vamos usar o teorema para comparar a integral de fluxo na superfície com a integral da divergência no volume.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência é uma medida de quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto. A fórmula para a divergência em coordenadas cartesianas é:
partial Fxpartial x = z
Onde partial Fypartial y = z , partial Fzpartial z = 6 z e nabla cdot F = z + z + 6 z = 8 z .
Calculando cada derivada:
Então, a divergência é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência dentro do sólido definido pelo paraboloide x = r cos theta e pelo plano y = r sin theta . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que a região tem simetria circular.
Em coordenadas cilíndricas:
z = z
integral triplaV (nabla cdot F) , dV = integral0^2pi integral0^1 integralr^2^1 8 z cdot r , dz , dr , dtheta
O paraboloide fica e o plano é . Então, varia de 0 a , e de 0 a .
A integral de volume fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integralr^2^1 8 z , dz = 8 [ z^22 ]r^2^1 = 4 (1 - r^4) :
integral0^2pi integral0^1 4 (1 - r^4) cdot r , dr , dtheta = 4 integral0^2pi integral0^1 (r - r^5) , dr , dtheta
Agora, a integral fica:
integral0^1 (r - r^5) , dr = [ r^22 - r^66 ]0^1 = 12 - 16 = 13
Integrando em relação a 4 integral0^2pi 13 , dtheta = 43 cdot 2pi = 8pi3 :
Agora, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de fluxo do campo através da superfície que delimita o sólido. Segundo o Teorema do Divergente, essa integral deve ser igual à integral de volume que acabamos de calcular.
Para verificar, podemos considerar que o campo é suave e o sólido é bem comportado, então o Teorema do Divergente se aplica.

Resposta

O Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial no sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano , já que as integrais de fluxo e de divergência coincidem e são iguais a .

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