Verifique se o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial
no sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o Teorema do Divergente funciona para o campo vetorial
dentro de um sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
. Basicamente, vamos usar o teorema para comparar a integral de fluxo na superfície com a integral da divergência no volume.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é uma medida de quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto. A fórmula para a divergência em coordenadas cartesianas é:
Onde
,
e
.
Calculando cada derivada:
Então, a divergência é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência dentro do sólido definido pelo paraboloide
e pelo plano
. Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que a região tem simetria circular.
Em coordenadas cilíndricas:
O paraboloide fica
e o plano é
. Então,
varia de 0 a
, e
de 0 a
.
A integral de volume fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de fluxo do campo
através da superfície que delimita o sólido. Segundo o Teorema do Divergente, essa integral deve ser igual à integral de volume que acabamos de calcular.
Para verificar, podemos considerar que o campo
é suave e o sólido é bem comportado, então o Teorema do Divergente se aplica.
Resposta
O Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial
no sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
, já que as integrais de fluxo e de divergência coincidem e são iguais a
.