Considere a superfície
composta pelo gráfico do campo escalar
limitada pelo plano
. Seja
a tampa circular cuja fronteira
é a interseção de
com o plano
. Seja
. Se a superfície fechada
estiver orientada com o vetor normal exterior e as fronteiras
e
com a orientação induzida, então podemos concluir (usando o Teorema de Stokes ou Gauss) que o trabalho feito pelo campo
ao movimentar um objeto ao longo de
no sentido anti-horário é:
a. Desconhecido.
b. Menor que o fluxo de
ao longo de
.
c. Igual a
.
d. Igual a
.
- e. Nenhuma das outras alternativas.
a. Desconhecido.
b. Menor que o fluxo de
c. Igual a
d. Igual a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Basicamente, temos uma superfície $ P $ que é o gráfico da função $ g(x, y) = x^2 + y^2 $, limitada pelo plano $ z = 4 $. Também temos uma tampa circular $ Q $ onde $ P $ cruza o plano $ z = 4 $. O campo vetorial dado é $ \mathbf{F}(x, y, z) = (-y + 2x, x, 4z) $. Queremos descobrir o trabalho feito por esse campo ao mover um objeto ao longo da fronteira $ \partial P $ no sentido anti-horário utilizando o Teorema de Stokes ou Gauss. Vamos precisar entender como aplicar esses teoremas e calcular integrais de superfície e rotacional de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada $ \partial S $ com a integral de superfície do rotacional do campo vetorial $ \mathbf{F} $ sobre a superfície $ S $. Matematicamente, é:
No nosso caso, $ \partial P $ é a curva onde $ P $ encontra $ Q $, e queremos calcular o trabalho ao longo dessa curva.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de $ \mathbf{F} $, que é $ \nabla \times \mathbf{F} $. Para $ \mathbf{F} = (-y + 2x, x, 4z) $, temos:
Calculando cada componente:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de superfície $ \iint_{P} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} $. Para isso, precisamos da orientação correta da superfície e do vetor normal. Como $ P $ é orientada para o exterior, o vetor normal aponta para cima.
A superfície $ P $ é o gráfico de $ z = x^2 + y^2 $, que é um paraboloide. Podemos usar coordenadas polares para facilitar os cálculos, já que a simetria é circular.
Em coordenadas polares:
E o elemento de área $ dS $ para um gráfico $ z = f(x, y) $ é:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 5
Agora, a integral de superfície fica:
Como $ \mathbf{n} $ é o vetor normal, e para o nosso caso, considerando a orientação para fora, a componente relevante será na direção $ z $. Portanto, a integral simplifica para:
Substituindo $ dS $:
Integrando de $ r = 0 $ a $ r = 2 $ (porque $ z = 4 $ implica $ r = \sqrt{4} = 2 $) e $ \theta = 0 $ a $ 2\pi $:
Passo 6
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Deixe $ u = 1 + 4r^2 $, então $ du = 8r , dr $, ou $ r , dr = \frac{du}{8} $.
Mudando os limites: quando $ r = 0 $, $ u = 1 $; quando $ r = 2 $, $ u = 1 + 4(4) = 17 $.
A integral interna fica:
Então, a integral total é:
Passo 7
Agora que calculamos a integral de superfície, de acordo com o Teorema de Stokes, isso nos dá o valor do trabalho feito pelo campo $ \mathbf{F} $ ao mover o objeto ao longo da curva $ \partial P $ no sentido anti-horário. Observando as opções, percebemos que a alternativa que corresponde a isso é:
c. Igual a $ \iint_{P} \operatorname{Rot}(F) , dP $
Resposta
c. Igual a $ \iint_{P} \operatorname{Rot}(F) , dP $.