Verifique que o trabalho de um campo vetorial
ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o trabalho de um campo vetorial
ao longo de uma curva
pode ser escrito como uma integral de linha paramétrica. O conteúdo é cálculo de integrais de linha em campos vetoriais, e vamos precisar usar a definição de somatório de Riemann, a parametrização da curva e a relação diferencial
.
Passo 2
Suponha que a curva
seja dada por uma parametrização
, para
variando de
até
. Assim cada ponto de
é
, e a derivada
existe e é contínua nesse intervalo.
Para aproximar o trabalho, dividimos em
subintervalos
de tamanho
. Em cada subintervalo escolhemos um ponto
e aproximamos o deslocamento
. O trabalho aproximado em cada pedaço é
Para aproximar o trabalho, dividimos
Somando sobre todos os pedaços, obtemos um somatório de Riemann para o trabalho.
Passo 3
Quando
fica pequeno, a diferença
se aproxima de
. Substituindo na soma, temos
Passo 4
No limite
e
, esse somatório converge para a integral de Riemann. Concluímos então que