Verifique que o trabalho de um campo vetorial F ao longo de um caminho C é dado pela integral de linha
integralC F d r integralC F d r=integrala^b F(r(t)) r^prime(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o trabalho de um campo vetorial F ao longo de uma curva C pode ser escrito como uma integral de linha paramétrica. O conteúdo é cálculo de integrais de linha em campos vetoriais, e vamos precisar usar a definição de somatório de Riemann, a parametrização da curva e a relação diferencial dr = r,'(t),dt.

Passo 2

Suponha que a curva C seja dada por uma parametrização r(t), para t variando de a até b. Assim cada ponto de C é r(t), e a derivada r,'(t) existe e é contínua nesse intervalo.
Para aproximar o trabalho, dividimos [a,b] em n subintervalos [ti-1,ti] de tamanho De. Em cada subintervalo escolhemos um ponto ti^* e aproximamos o deslocamento De. O trabalho aproximado em cada pedaço é
F(r(ti^*)) cdot De
Somando sobre todos os pedaços, obtemos um somatório de Riemann para o trabalho.

Passo 3

Quando De fica pequeno, a diferença De se aproxima de r,'(ti^*),De. Substituindo na soma, temos
sumi=1^n F(r(ti^*)) cdot l(r,'(ti^*),De

Passo 4

No limite ntoinfty e maxDe, esse somatório converge para a integral de Riemann. Concluímos então que
integralC Fcdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r,'(t),dt

Resposta

integralC Fcdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r,'(t),dt

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