Uma partícula se movimenta entre os pontos (2,0,0) e (0,1, pi / 2) do espaço ao longo da hélice r(t):=(2 cos (t), sin (t), t). Considerando os campos vetoriais F(x, y, z):=-y i+x j+4 z k e G=nabla g onde g(x, y, z)=x+y-e^2 x y z, denotamos por TF e TG os trabalhos feitos ao movimentar a partícula sob a ação dos campos F e G respectivamente. Então podemos concluir que:
TF=TG.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move em uma hélice no espaço, indo do ponto (2,0,0) até (0,1,pi/2). A gente precisa calcular o trabalho feito por dois campos vetoriais diferentes, F e G, ao mover essa partícula. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais, trabalho realizado por eles e como calcular esse trabalho ao longo de uma curva. Vamos por etapas!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é trabalho feito por um campo vetorial ao longo de uma curva. O trabalho T é dado pela integral de linha do campo vetorial ao longo da curva C:
T = integralC F cdot dr
Aqui, F é o campo vetorial e dr é um vetor infinitesimal na direção da curva.

Passo 3

Vamos começar com o campo vetorial F(x, y, z) = -y,i + x,j + 4z,k. Para calcular o trabalho TF, precisamos integrar esse campo ao longo da hélice dada por r(t) = (2cos t, sin t, t), onde t varia de 0 a pi/2 (já que a hélice vai de z=0 a z=pi/2).

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que nos dá o vetor velocidade r'(t):
r'(t) = ( ddt(2cos t), ddt(sin t), ddt(t) ) = (-2sin t, cos t, 1)

Passo 5

Agora, substituímos r(t) no campo F para obter F(r(t)):
F(r(t)) = -sin t,i + 2cos t,j + 4t,k

Passo 6

O trabalho TF é então a integral de F(r(t)) cdot r'(t) de t=0 a t=pi/2:
TF = integral0^pi/2 [-sin t cdot (-2sin t) + 2cos t cdot cos t + 4t cdot 1],dt
Simplificando:
TF = integral0^pi/2 [2sin^2 t + 2cos^2 t + 4t],dt

Passo 7

Vamos simplificar mais a expressão dentro da integral. Sabemos que sin^2 t + cos^2 t = 1, então:
2sin^2 t + 2cos^2 t = 2(sin^2 t + cos^2 t) = 2 cdot 1 = 2
Portanto, a integral fica:
TF = integral0^pi/2 [2 + 4t],dt

Passo 8

Agora, calculamos a integral:
TF = integral0^pi/2 2,dt + integral0^pi/2 4t,dt = 2t |0^pi/2 + 2t^2 |0^pi/2
Calculando:
TF = 2 cdot pi2 + 2 cdot (pi2)^2 = pi + pi^22

Passo 9

Agora, vamos analisar o campo G = nabla g, onde g(x, y, z) = x + y - e^2xyz. Como G é o gradiente de uma função escalar, ele é um campo conservativo. O trabalho feito por um campo conservativo entre dois pontos depende apenas dos valores da função potencial nesses pontos.

Passo 10

Vamos calcular g nos pontos iniciais (2,0,0) e finais (0,1,pi/2):
Para (2,0,0):
g(2,0,0) = 2 + 0 - e^2 cdot 2 cdot 0 cdot 0 = 2 + 0 - e^0 = 2 - 1 = 1
Para (0,1,pi/2):
g(0,1,pi/2) = 0 + 1 - e^2 cdot 0 cdot 1 cdot (pi/2) = 1 - e^0 = 1 - 1 = 0

Passo 11

O trabalho TG feito pelo campo G é a diferença dos valores da função potencial nos pontos finais e iniciais:
TG = g(0,1,pi/2) - g(2,0,0) = 0 - 1 = -1

Passo 12

Comparando os trabalhos TF e TG, temos:
TF = pi + pi^22 TG = -1
Claramente, TF neq TG. Portanto, a afirmação do enunciado de que TF = TG não é verdadeira.

Resposta

Os trabalhos são diferentes, ou seja, TF neq TG.

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