Uma partícula se movimenta entre os pontos e do espaço ao longo da hélice . Considerando os campos vetoriais e onde , denotamos por e os trabalhos feitos ao movimentar a partícula sob a ação dos campos e respectivamente. Então podemos concluir que: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move em uma hélice no espaço, indo do ponto até . A gente precisa calcular o trabalho feito por dois campos vetoriais diferentes, e , ao mover essa partícula. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais, trabalho realizado por eles e como calcular esse trabalho ao longo de uma curva. Vamos por etapas!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é trabalho feito por um campo vetorial ao longo de uma curva. O trabalho é dado pela integral de linha do campo vetorial ao longo da curva :
Aqui, é o campo vetorial e é um vetor infinitesimal na direção da curva.
Passo 3
Vamos começar com o campo vetorial . Para calcular o trabalho , precisamos integrar esse campo ao longo da hélice dada por , onde varia de 0 a (já que a hélice vai de a ).
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dá o vetor velocidade :
Passo 5
Agora, substituímos no campo para obter :
Passo 6
O trabalho é então a integral de de a :
Simplificando:
Passo 7
Vamos simplificar mais a expressão dentro da integral. Sabemos que , então:
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Agora, calculamos a integral:
Calculando:
TF = 2 cdot pi2 + 2 cdot (pi2)^2 = pi + pi^22
Passo 9
Agora, vamos analisar o campo G = nabla g, onde g(x, y, z) = x + y - e^2xyz. Como G é o gradiente de uma função escalar, ele é um campo conservativo. O trabalho feito por um campo conservativo entre dois pontos depende apenas dos valores da função potencial nesses pontos.
Passo 10
Vamos calcular g nos pontos iniciais (2,0,0) e finais (0,1,pi/2):