Uma partícula se movimenta entre os pontos (2,0,0) e (0,1, pi / 2) do espaço ao longo da hélice r(t):=(2 cos (t), sin (t), t). Considerando os campos vetoriais F(x, y, z):=-y i+x j+4 z k e G=nabla g onde g(x, y, z)=x+y-e^2 x y z, denotamos por TF e TG os trabalhos feitos ao movimentar a partícula sob a ação dos campos F e G respectivamente. Então podemos concluir que:
TF=0 porque F não é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move entre dois pontos no espaço seguindo uma hélice definida por . A questão envolve dois campos vetoriais: e , onde . Precisamos entender os trabalhos e realizados por esses campos ao mover a partícula. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que . Para campos conservativos, o trabalho realizado ao mover a partícula de um ponto A para um ponto B depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.

Passo 3

Vamos analisar o campo partial phipartial x = -y, partial phipartial y = x, partial phipartial z = 4z . Para saber se é conservativo, precisamos verificar se existe uma função potencial phi = -xy + h(y, z) tal que partial phipartial y = -x + partial hpartial y = x . Isso implica que as derivadas parciais de devem satisfazer:
Integrando a primeira equação em relação a , temos:
Agora, derivando em relação a :
Isso leva a , ou seja, . Mas isso não faz sentido, já que deve ser função só de e , e não depende de . Portanto, não existe uma função potencial para , o que significa que não é conservativo.

Passo 4

Como não é conservativo, o trabalho realizado por ao mover a partícula ao longo de um caminho fechado não é necessariamente zero. Na verdade, para campos não conservativos, o trabalho depende do caminho seguido. Portanto, a afirmação de que porque não é conservativo está incorreta. Na realidade, pode ser diferente de zero.

Passo 5

Já que TG = g(B) - g(A) , onde , é um campo conservativo por definição. Para campos conservativos, o trabalho ao mover a partícula de um ponto A para B é dado pela diferença do potencial :
Isso significa que depende apenas dos pontos inicial e final, e pode ser facilmente calculado substituindo as coordenadas dos pontos em .

Resposta

Portanto, a afirmação de que porque não é conservativo está incorreta. Na verdade, como não é conservativo, o trabalho pode ser diferente de zero e depende do caminho seguido pela partícula.

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