Uma partícula se movimenta entre os pontos
e
do espaço ao longo da hélice
. Considerando os campos vetoriais
e
onde
, denotamos por
e
os trabalhos feitos ao movimentar a partícula sob a ação dos campos
e
respectivamente. Então podemos concluir que:
porque
não é conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move entre dois pontos no espaço seguindo uma hélice definida por
. A questão envolve dois campos vetoriais:
e
, onde
. Precisamos entender os trabalhos
e
realizados por esses campos ao mover a partícula. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Para campos conservativos, o trabalho realizado
ao mover a partícula de um ponto A para um ponto B depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.
Passo 3
Vamos analisar o campo
. Para saber se é conservativo, precisamos verificar se existe uma função potencial
tal que
. Isso implica que as derivadas parciais de
devem satisfazer:
Integrando a primeira equação em relação a
, temos:
Agora, derivando
em relação a
:
Isso leva a
, ou seja,
. Mas isso não faz sentido, já que
deve ser função só de
e
, e não depende de
. Portanto, não existe uma função potencial para
, o que significa que
não é conservativo.
Passo 4
Como
não é conservativo, o trabalho
realizado por
ao mover a partícula ao longo de um caminho fechado não é necessariamente zero. Na verdade, para campos não conservativos, o trabalho depende do caminho seguido. Portanto, a afirmação de que
porque
não é conservativo está incorreta. Na realidade,
pode ser diferente de zero.
Passo 5
Já que
, onde
,
é um campo conservativo por definição. Para campos conservativos, o trabalho
ao mover a partícula de um ponto A para B é dado pela diferença do potencial
:
Isso significa que
depende apenas dos pontos inicial e final, e pode ser facilmente calculado substituindo as coordenadas dos pontos em
.
Resposta
Portanto, a afirmação de que
porque
não é conservativo está incorreta. Na verdade, como
não é conservativo, o trabalho
pode ser diferente de zero e depende do caminho seguido pela partícula.