Se F é uma força que atua sobre (x, y), calcule o trabalho ao longo da curva C , onde:
F: R^2 R^2 dada por F(x, y)=(-y, x).
C é o arco da parábola y=x^2 entre A(0,0) e B(3,9).
Considere C orientada de B para A.

Passo 1

O exercício pede o cálculo do trabalho de um campo vetorial no plano ao longo de uma curva orientada de B para A. Aqui o conteúdo é integral de linha de um campo vetorial não conservativo, e vamos precisar: parametrizar a curva C, escrever o vetor diferencial de posição, avaliar o campo em cada ponto e fazer o produto escalar para, por fim, integrar.

Passo 2

Para parametrizar C: como C é o arco da parábola y=x^2 de B(3,9) até A(0,0), tomamos r(t)=(t, t^2) com t variando de 3 a 0. Assim cobrimos a curva no sentido B→A e não precisamos inverter o sinal depois.
Calculamos o vetor tangente r’(t):
r'(t) = l(1, 2tr)
Substituímos na força: em cada ponto r(t) temos
vec F(r(t)) = (-y, x) = (-t^2, t)
O produto escalar é
vec F(r(t)) cdot r'(t) = (-t^2)cdot1 + tcdot(2t) = -t^2 + 2t^2 = t^2

Passo 3

Por fim, integramos de t=3 até t=0:
W = integralCvec Fcdot dvec r = integral3^0 t^2 ,dt = -integral0^3 t^2 ,dt = -l[tfract^33r]0^3 = -tfrac273 = -9

Resposta

-9

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