, em que
Passo 1
A gente tem a equação linear de segunda ordem com forçamento descontinuo em t=2:
y’’+3y’+2y=f(t), com y(0)=0 e y’(0)=1, onde
O conteúdo é resolução de EDO via transformada de Laplace e usaremos também a função degrau unitário
Passo 2
Para aplicar Laplace, tomamos transformadas termo a termo. Lembrando que
e
Então a equação vira
Passo 3
Isolando
obtemos
logo
Passo 4
Primeiro invertemos
Aplicando a transformada inversa:
Passo 5
Agora decompomos
Encontramos
Pela propriedade de deslocamento:
temos
Passo 6
A solução completa é a soma das partes:
$$y(t)=y_1(t)+y_2(t)
=e{-t}-e{-2t}+u(t-2)\Bigl[\tfrac12- e^{-(t-2)}+\tfrac12 e^{-2(t-2)}\Bigr].
y(t)=\begin{cases}e{-t}-e{-2t},&0\le t<2,\
e{-t}-e{-2t}+\tfrac12- e^{-(t-2)}+\tfrac12 e^{-2(t-2)},&t\ge2.\end{cases}$$
Resposta
Para 0\le t<2:
e para t\ge2: