y^prime prime+3 y^prime+2 y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=1, em que f(t)=ll0, & para 0 <= t<2 1, & para t >= 2

Passo 1

A gente tem a equação linear de segunda ordem com forçamento descontinuo em t=2:
y’’+3y’+2y=f(t), com y(0)=0 e y’(0)=1, onde
f(t)=0,&0<= t<2,1,&t>=2
O conteúdo é resolução de EDO via transformada de Laplace e usaremos também a função degrau unitário u(t-2) e o teorema do deslocamento no tempo.

Passo 2

Para aplicar Laplace, tomamos transformadas termo a termo. Lembrando que
Ly''=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0), Ly=Y(s),
e
Lu(t-2)=e^-2ss
Então a equação vira
(s^2+3s+2)Y(s)-1=e^-2ss

Passo 3

Isolando Y(s) obtemos
(s^2+3s+2)Y(s)=1+e^-2ss,
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Y(s)=1s^2+3s+2+e^-2ss,(s^2+3s+2)

Passo 4

Primeiro invertemos
1s^2+3s+2=1(s+1)(s+2)=1s+1-1s+2
Aplicando a transformada inversa:
y1(t)=e^-t-e^-2t

Passo 5

Agora decompomos
1s(s+1)(s+2)=As+Bs+1+Cs+2
Encontramos A=tfrac12, B=-1, C=tfrac12, então
1s(s+1)(s+2)=121s-1s+1+121s+2
Pela propriedade de deslocamento:
L^-1e^-2sF(s)=u(t-2)f(t-2),
temos
y2(t)=u(t-2)l[tfrac12- e^-(t-2)+tfrac12 e^-2(t-2)r]

Passo 6

A solução completa é a soma das partes:
$$y(t)=y_1(t)+y_2(t)
=e{-t}-e{-2t}+u(t-2)\Bigl[\tfrac12- e^{-(t-2)}+\tfrac12 e^{-2(t-2)}\Bigr]. y(t)=y1(t)+y2(t) =e^-t-e^-2t+u(t-2)l[tfrac12- e^-(t-2)+tfrac12 e^-2(t-2)r]çy(t)=\begin{cases}e{-t}-e{-2t},&0\le t<2,\
e{-t}-e{-2t}+\tfrac12- e^{-(t-2)}+\tfrac12 e^{-2(t-2)},&t\ge2.\end{cases}$$

Resposta

Para 0\le t<2:
y(t)=e^-t-e^-2t,
e para t\ge2:
y(t)=e^-t-e^-2t+tfrac12- e^-(t-2)+tfrac12 e^-2(t-2)

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