Uma partícula, movimentando-se ao longo do eixo x, possui energia potencial Ep= a x^2+b x^3, em que a e b são constantes positivas. Determine o valor da força que age sobre a partícula em x=ab e determine as posições de equilíbrio estável.

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo x e tem uma energia potencial dada por Ep = a x^2 + b x^3, onde a e b são constantes positivas. Precisamos descobrir duas coisas: a força que está agindo na partícula quando x = ab e encontrar as posições onde a partícula está em equilíbrio estável. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e forças relacionadas à energia potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força F está relacionada à energia potencial Ep pela relação:
F = -dEpdx
Isso significa que a força é o negativo da derivada da energia potencial em relação a x.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de Ep = a x^2 + b x^3 em relação a x:
dEpdx = 2a x + 3b x^2
Agora, aplicando a relação da força:
F = -(2a x + 3b x^2)

Passo 4

Agora, queremos encontrar a força quando x = ab. Vamos substituir esse valor na expressão da força:
F = -(2a (ab) + 3b (ab)^2)
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, calcule 2a (ab):
2a cdot ab = 2a^2b
Em seguida, calcule 3b (ab)^2:
3b cdot (a^2b^2) = 3a^2b

Passo 6

Somando as duas partes:
2a^2b + 3a^2b = 5a^2b
Então, a força fica:
F = -5a^2b

Passo 7

Agora, vamos encontrar as posições de equilíbrio estável. Para isso, precisamos achar onde a força é zero, ou seja:
F = -dEpdx = 0 implies dEpdx = 0
Então, resolvemos:
2a x + 3b x^2 = 0

Passo 8

Fatorando x:
x (2a + 3b x) = 0
Assim, temos duas soluções:
x = 0 ou 2a + 3b x = 0 implies x = -2a3b

Passo 9

Para determinar se são estáveis, analisamos a segunda derivada da energia potencial:
d^2Epdx^2 = 2a + 6b x
Um ponto de equilíbrio é estável se a segunda derivada for positiva nesse ponto.

Passo 10

Vamos verificar cada posição:
  1. Para x = 0:
d^2Epdx^2 = 2a + 6b cdot 0 = 2a > 0
Então, x = 0 é um ponto de equilíbrio estável.
  1. Para x = -2a3b:
d^2Epdx^2 = 2a + 6b (-2a3b) = 2a - 4a = -2a < 0
Então, x = -2a3b não é estável.

Resposta

A força que age sobre a partícula em x = ab é F = -5a^2b. A única posição de equilíbrio estável é em x = 0.

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