Uma partícula, movimentando-se ao longo do eixo
, possui energia potencial
, em que
e
são constantes positivas. Determine o valor da força que age sobre a partícula em
e determine as posições de equilíbrio estável.
Passo 1
Então, a gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo
e tem uma energia potencial dada por
, onde
e
são constantes positivas. Precisamos descobrir duas coisas: a força que está agindo na partícula quando
e encontrar as posições onde a partícula está em equilíbrio estável. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e forças relacionadas à energia potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força
está relacionada à energia potencial
pela relação:
Isso significa que a força é o negativo da derivada da energia potencial em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Agora, aplicando a relação da força:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a força quando
. Vamos substituir esse valor na expressão da força:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 5
Primeiro, calcule
:
Em seguida, calcule
:
Passo 6
Somando as duas partes:
Então, a força fica:
Passo 7
Agora, vamos encontrar as posições de equilíbrio estável. Para isso, precisamos achar onde a força é zero, ou seja:
Então, resolvemos:
Passo 8
Fatorando
:
Assim, temos duas soluções:
Passo 9
Para determinar se são estáveis, analisamos a segunda derivada da energia potencial:
Um ponto de equilíbrio é estável se a segunda derivada for positiva nesse ponto.
Passo 10
Vamos verificar cada posição:
- Para
:
Então,
é um ponto de equilíbrio estável.
- Para
:
Então,
não é estável.
Resposta
A força que age sobre a partícula em
é
. A única posição de equilíbrio estável é em
.