Um pequeno corpo de massa m desliza sobre uma superfície esférica de raio R, sem atrito, desde o seu topo, quando estava momentaneamente em repouso. Determine as coordenadas do ponto P, onde ele abandona a superfície e o ponto em que ele atinge a superfície horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. Temos um corpo pequeno, com massa m, que está deslizando sem atrito por uma superfície esférica de raio R. Ele começa a deslizar do topo da esfera, quando está parado. Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
  1. As coordenadas do ponto P onde ele deixa a superfície da esfera.
  2. O ponto onde ele atinge o chão horizontal depois de deixar a esfera.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica, leis do movimento pendular e um pouco de cinemática para traçar a trajetória após deixar a esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a energia do sistema. Como não tem atrito, a energia mecânica total é conservada. No topo da esfera, toda a energia é potencial gravitacional, já que o corpo está momentaneamente em repouso. A energia potencial no topo é:
Epottopo = mgh = mg(2R)
Aqui, consideramos que h = 2R porque o ponto mais baixo da esfera está a uma altura 0.

Passo 3

À medida que o corpo desce, parte da energia potencial se transforma em energia cinética. Em qualquer ponto da trajetória, a energia total é:
Etotal = Epot + Ecin = mg(2R - R(1 - costheta)) + 12mv^2
Simplificando, temos:
mgR(1 + costheta) + 12mv^2 = mg(2R)
Isolando a velocidade v:
12mv^2 = mgR(1 - costheta)
v^2 = 2gR(1 - costheta)

Passo 4

Agora, para encontrar o ponto onde o corpo deixa a esfera, vamos analisar as forças que atuam sobre ele naquele ponto. As duas forças principais são:
  1. A força gravitacional: mg.
  2. A força normal da esfera sobre o corpo: N.
No ponto de perda de contato, a força normal N é zero. Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial:
mgcostheta = mv^2R
Substituindo v^2 da etapa anterior:
mgcostheta = m cdot 2gR(1 - costheta)R
Simplificando:
gcostheta = 2g(1 - costheta)
costheta = 2 - 2costheta
3costheta = 2
costheta = 23

Passo 5

Com costheta = 23, podemos encontrar as coordenadas do ponto P. Considerando o sistema de coordenadas onde o eixo vertical passa pelo centro da esfera:
xP = Rsintheta = Rraiz1 - (23)^2 = Rraiz1 - 49 = Rraiz59 = raiz53R
yP = Rcostheta = R cdot 23 = 23R
Então, as coordenadas de P são (raiz53R, 23R).

Passo 6

Após deixar a esfera, o corpo segue uma trajetória parabólica influenciada pela gravidade. As condições iniciais nesse ponto são:
  • Posição: (raiz53R, 23R)
  • Velocidade: Tangente à esfera no ponto P.
A velocidade tangencial no ponto P é:
vP = raiz2gR(1 - costheta) = raiz2gR(1 - 23) = raiz2gR3
A direção da velocidade é horizontal, já que no ponto P o ângulo theta está medindo a inclinação.
Agora, usamos a equação do movimento para encontrar onde o corpo atinge o chão ( y=0).

Passo 7

O movimento horizontal é uniforme:
x(t) = xP + vP t = raiz53R + raiz2gR3 t
O movimento vertical é uniformemente acelerado pela gravidade:
y(t) = yP + vy0 t - 12>^2
Como imediatamente após deixar a esfera a velocidade vertical inicial vy0=0, temos:
y(t) = 23R - 12>^2
Queremos encontrar o tempo t quando y(t) = 0:
23R - 12>^2 = 0
t^2 = 4R3g
t = raiz4R3g = 2raiz3g raizR

Passo 8

Agora, substituímos o valor de t na equação de x(t) para encontrar a posição horizontal quando atinge o chão:
x = raiz53R + raiz2gR3 cdot 2raiz3g raizR
Simplificando:
x = raiz53R + 2raiz2R3 cdot raizR = raiz53R + 2raiz2R3
x = (raiz5 + 2raiz2)R3

Resposta

As coordenadas do ponto P onde o corpo deixa a superfície são (raiz53R, 23R), e o ponto onde ele atinge a superfície horizontal está em (raiz5 + 2raiz23R, 0).

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