Um pequeno corpo de massa
desliza sobre uma superfície esférica de raio
, sem atrito, desde o seu topo, quando estava momentaneamente em repouso. Determine as coordenadas do ponto
, onde ele abandona a superfície e o ponto em que ele atinge a superfície horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. Temos um corpo pequeno, com massa
, que está deslizando sem atrito por uma superfície esférica de raio
. Ele começa a deslizar do topo da esfera, quando está parado. Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
- As coordenadas do ponto
onde ele deixa a superfície da esfera. - O ponto onde ele atinge o chão horizontal depois de deixar a esfera.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica, leis do movimento pendular e um pouco de cinemática para traçar a trajetória após deixar a esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a energia do sistema. Como não tem atrito, a energia mecânica total é conservada. No topo da esfera, toda a energia é potencial gravitacional, já que o corpo está momentaneamente em repouso. A energia potencial no topo é:
Aqui, consideramos que
porque o ponto mais baixo da esfera está a uma altura
.
Passo 3
À medida que o corpo desce, parte da energia potencial se transforma em energia cinética. Em qualquer ponto da trajetória, a energia total é:
Simplificando, temos:
Isolando a velocidade
:
Passo 4
Agora, para encontrar o ponto onde o corpo deixa a esfera, vamos analisar as forças que atuam sobre ele naquele ponto. As duas forças principais são:
- A força gravitacional:
. - A força normal da esfera sobre o corpo:
.
No ponto de perda de contato, a força normal
é zero. Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial:
Substituindo
da etapa anterior:
Simplificando:
Passo 5
Com
, podemos encontrar as coordenadas do ponto
. Considerando o sistema de coordenadas onde o eixo vertical passa pelo centro da esfera:
Então, as coordenadas de
são
.
Passo 6
Após deixar a esfera, o corpo segue uma trajetória parabólica influenciada pela gravidade. As condições iniciais nesse ponto são:
- Posição:
- Velocidade: Tangente à esfera no ponto
.
A velocidade tangencial no ponto
é:
A direção da velocidade é horizontal, já que no ponto
o ângulo
está medindo a inclinação.
Agora, usamos a equação do movimento para encontrar onde o corpo atinge o chão (
).
Passo 7
O movimento horizontal é uniforme:
O movimento vertical é uniformemente acelerado pela gravidade:
Como imediatamente após deixar a esfera a velocidade vertical inicial
, temos:
Queremos encontrar o tempo
quando
:
Passo 8
Agora, substituímos o valor de
na equação de
para encontrar a posição horizontal quando atinge o chão:
Simplificando:
Resposta
As coordenadas do ponto
onde o corpo deixa a superfície são
, e o ponto onde ele atinge a superfície horizontal está em
.