A energia potencial de interação entre dois átomos de uma molécula diatômica é aproximadamente
que é chamada de energia potencia de Van der Waals, sendo
a a distância entre os átomos. Determine a força de interação e determine o período de oscilação para pequenos deslocamentos em torno da posição de equilíbrio.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos uma fórmula para a energia potencial de interação entre dois átomos numa molécula diatômica, que é conhecida como energia potencial de Van der Waals:
Aqui, $ x $ representa a distância entre os dois átomos. Nosso objetivo é:
- Encontrar a força de interação entre os átomos.
- Determinar o período de oscilação para pequenos deslocamentos ao redor da posição de equilíbrio.
Para isso, vamos precisar entender como derivar a força a partir da energia potencial e depois usar conceitos de oscilações harmônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a força de interação. Na física, a força relacionada a uma energia potencial $ E_p $ é dada pela derivada negativa dessa energia em relação à posição $ x $:
Então, vamos calcular a derivada de $ E_p $ em relação a $ x $:
Agora, aplicando o sinal negativo para obter a força:
Então, a força de interação é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a posição de equilíbrio. Essa é a posição onde a força é zero, ou seja:
Vamos resolver para $ x $:
Então, a distância de equilíbrio $ x_{0} $ é:
Passo 4
Vamos analisar agora os pequenos deslocamentos em torno da posição de equilíbrio $ x_{0} $. Para isso, podemos usar a aproximação de que a força é proporcional ao deslocamento, ou seja, $ F \approx -k \cdot (x - x_{0}) $, onde $ k $ é a constante elástica.
Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada da energia potencial em relação a $ x $ no ponto de equilíbrio. Isso nos dará a constante $ k $:
Vamos calcular a primeira derivada novamente:
Agora, a segunda derivada:
Substituindo $ x = x_{0} $:
Sabemos que $ x_{0}^{6} = \frac{2b}{a} $, então $ x_{0}^{12} = \left( \frac{2b}{a} \right)^{2} $ e $ x_{0}^{14} = x_{0}^{12} \cdot x_{0}^{2} $.
Vamos substituir na expressão:
Mas, sabemos que $ x_{0}^{6} = \frac{2b}{a} $, então $ x_{0}^{14} = x_{0}^{8} \cdot x_{0}^{6} = x_{0}^{8} \cdot \frac{2b}{a} $. Substituindo:
Então, a constante elástica $ k $ é:
Passo 5
Agora, vamos determinar o período de oscilação $ T $ para pequenos deslocamentos ao redor da posição de equilíbrio. Para isso, usamos a fórmula do período de um oscilador harmônico simples:
Onde $ m $ é a massa efetiva do sistema e $ k $ é a constante elástica que encontramos.
Substituindo $ k $:
Simplificando:
Finalmente, simplificando $ \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} $:
Resposta
A força de interação entre os átomos é dada por:
E o período de oscilação para pequenos deslocamentos ao redor da posição de equilíbrio é: