Uma partícula em movimento harmônico simples movimenta-se de acordo com a equação x(t)=5 cos (2 pi t+pi2), onde a posição está em metros e o tempo está em segundos. A partir dessa informação, determine: a função da velocidade para a partícula;

Passo 1

Beleza, queremos achar a função velocidade de uma partícula que faz movimento harmônico simples (MHS) descrito por
x(t) = 5 cos!l(2pi t + tfracpi2r)
Conteúdo da matéria: derivadas de funções trigonométricas e regra da cadeia para diferenciação.
O que vamos precisar:
  • Saber que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, .
  • Conhecer a derivada de e como aplicar a regra da cadeia quando depende de .

Passo 2

Teoria rápida:
  1. Derivada de ddt cos(u(t)) = -sinl(u(t)r),dudt em relação a é .
  2. Regra da cadeia: se , então
Nesse exercício, .

Passo 3

Agora aplicamos ao nosso x(t) = 5 cosl(u(t)r), u(t) = 2pi t + tfracpi2 :
v(t) = x'(t) = 5 l[-sinl(u(t)r)r] times (2pi)
  1. Derivada de fora: derivada de é .
  2. Multiplica pela derivada de dentro: .
    Logo, juntando tudo:

Passo 4

Simplificando o sinal e os fatores numéricos:
v(t) = -5 times 2pi ,sin!l(2pi t + tfracpi2r) = -10pi ,sin!l(2pi t + tfracpi2r)

Resposta

boxedv(t) = -10pi ,sin!l(2pi t + tfracpi2r) (m/s)

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