Uma partícula em movimento harmônico simples movimenta-se de acordo com a equação x(t)=5 cos (2 pi t+pi2), onde a posição está em metros e o tempo está em segundos. A partir dessa informação, determine: a velocidade e a aceleração em t=0,3 s ;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que uma partícula faz Movimento Harmônico Simples (MHS) com
x(t)=5cosl(2pi t+tfracpi2r),,
sendo em metros e em segundos. A matéria aqui é derivada de funções (cálculo) aplicada a MHS: a velocidade é a primeira derivada de e a aceleração é a segunda derivada. Vamos precisar lembrar que
- ,
- .

Passo 2

Primeiro, vamo achar a expressão geral da velocidade v(t)=dxdt =5;ddtl[cos(u)r] =5l[-sin(u)r]cdotdudt =-5sinl(2pi t+tfracpi2r)cdot(2pi), .
  1. Seja v(t)=-10pi,sin!l(2pi t+tfracpi2r), . Então v(0,3)=-10pil(-0,3090r)approx10picdot0,3090approx9,71 m/s, .
  2. Derivando:
  3. Logo:
Agora plugamos ,s:
  • O argumento é .
  • Sabemos que .
    Então

Passo 3

Agora a aceleração a(t)=-Aomega^2cos(omega t+varphi) . Podemos derivar a(t)=-5,(2pi)^2cos!l(2pi t+tfracpi2r) =-20pi^2cos!l(2pi t+tfracpi2r) ou usar a fórmula direta de MHS:
a(0,3)=-20pi^2l(-0,9511r) approx20pi^2cdot0,9511 approx187,8 m/s^2
Como e , temos
Em  s, o argumento continua , e
.
Logo

Resposta

Velocidade em ,s: .
Aceleração em ,s: .

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