Uma partícula em movimento harmônico simples movimenta-se de acordo com a equação x(t)=5 cos (2 pi t+pi2), onde a posição está em metros e o tempo está em segundos. A partir dessa informação, determine: a aceleração máxima da partícula;

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a partícula faz Movimento Harmônico Simples (MHS) com
x(t) = 5 cos!l(2pi,t + tfracpi2r)
Aqui a posição está em metros e o tempo em segundos. A gente precisa descobrir qual é a aceleração máxima dessa partícula.
Conteúdo: MHS e derivadas (ou a fórmula pronta de aceleração em MHS).
O que vamos precisar:
  • Entender que no MHS a aceleração é dada por .
  • Identificar a amplitude e a frequência angular .
  • Calcular .

Passo 2

Primeiro, identifica os parâmetros de x(t)=Acos(omega t+varphi) :
  • Amplitude v(t) = dot x(t) = -Aomegasin(omega t+varphi) m.
  • Frequência angular a(t) = dot v(t) = -Aomega^2cos(omega t+varphi) rad/s (vem direto do “ a(t) = -omega^2,x(t) ” lá).
Teoria básica:
No MHS, a posição é
A velocidade é a derivada de :
E a aceleração é a derivada de :
Repara que isso dá

Passo 3

A aceleração máxima em módulo é simplesmente a amplitude de amax = A,omega^2 , ou seja:
A = 5 m, omega = 2pi rad/s
Agora substitui os valores:
amax = 5 times (2pi)^2 = 5 times 4pi^2 = 20pi^2 m/s^2
Portanto

Resposta

A aceleração máxima da partícula é
boxedamax = 20pi^2 m/s^2 (approx 197,4 m/s^2)

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